Class 10 गणित अध्याय 1: वास्तविक संख्याएँ – अभ्यास 1.1 NCERT समाधान

कक्षा 10 गणित अध्याय 1 “वास्तविक संख्याएँ” का अभ्यास 1.1 संख्या सिद्धांत के एक महत्वपूर्ण सिद्धांत, यानी अंकगणित का मौलिक प्रमेय (Fundamental Theorem of Arithmetic) पर आधारित है, जो CBSE पाठ्यक्रम का अहम हिस्सा है। इस अभ्यास में संयुक्त संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करना और उसी के आधार पर HCF तथा LCM निकालना सिखाया जाता है, जो परीक्षा के लिए बेहद महत्वपूर्ण है।

इन NCERT समाधानों में सभी प्रश्नों को सरल और चरणबद्ध तरीके से समझाया गया है, जिससे हर विधि को आसानी से समझा जा सकता है। इन प्रश्नों का अभ्यास करने से न केवल अवधारणाएँ मजबूत होती हैं, बल्कि सटीकता और प्रश्न हल करने की गति भी बढ़ती है, जो बोर्ड परीक्षा में अच्छे अंक लाने के लिए जरूरी है।

Class 10 गणित अध्याय 1: वास्तविक संख्याएँ – अभ्यास 1.1 NCERT समाधान

प्रश्न 1. प्रत्येक संख्या को उसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए।

(i) 140

(ii) 156

(iii) 3825

(iv) 5005

(v) 7429

उत्तर :

(i) 140
140 का LCM लेने पर हमें इसके अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल प्राप्त होगा।
अतः, 140 = 2 × 2 × 5 × 7 × 1 = 2² × 5 × 7

(ii) 156
156 का LCM लेने पर हमें इसके अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल प्राप्त होगा।
अतः, 156 = 2 × 2 × 13 × 3 × 1 = 2² × 13 × 3

(iii) 3825
3825 का LCM लेने पर हमें इसके अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल प्राप्त होगा।
अतः, 3825 = 3 × 3 × 5 × 5 × 17 × 1 = 3² × 5² × 17

(iv) 5005
5005 का LCM लेने पर हमें इसके अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल प्राप्त होगा।
अतः, 5005 = 5 × 7 × 11 × 13 × 1 = 5 × 7 × 11 × 13

(v) 7429
7429 का LCM लेने पर हमें इसके अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल प्राप्त होगा।
अतः, 7429 = 17 × 19 × 23 × 1 = 17 × 19 × 23

प्रश्न 2. निम्नलिखित पूर्णांकों के युग्मों का LCM और HCF ज्ञात कीजिए तथा सत्यापित कीजिए कि
LCM × HCF = दोनों संख्याओं का गुणनफल

(i) 26 और 91

26 और 91 को उनके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखते हैं:
26 = 2 × 13 × 1
91 = 7 × 13 × 1

अतः,
LCM (26, 91) = 2 × 7 × 13 × 1 = 182
HCF (26, 91) = 13

सत्यापन:
26 और 91 का गुणनफल = 26 × 91 = 2366
LCM और HCF का गुणनफल = 182 × 13 = 2366

अतः, LCM × HCF = 26 और 91 का गुणनफल 

(ii) 510 और 92

510 और 92 को उनके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखते हैं:
510 = 2 × 3 × 17 × 5 × 1
92 = 2 × 2 × 23 × 1

अतः,
LCM (510, 92) = 2 × 2 × 3 × 5 × 17 × 23 = 23460
HCF (510, 92) = 2

सत्यापन:
510 और 92 का गुणनफल = 510 × 92 = 46920
LCM और HCF का गुणनफल = 23460 × 2 = 46920

अतः, LCM × HCF = 510 और 92 का गुणनफल 

(iii) 336 और 54

336 और 54 को उनके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखते हैं:
336 = 2 × 2 × 2 × 2 × 7 × 3 × 1
54 = 2 × 3 × 3 × 3 × 1

अतः,
LCM (336, 54) = 3024
HCF (336, 54) = 2 × 3 = 6

सत्यापन:
336 और 54 का गुणनफल = 336 × 54 = 18,144
LCM और HCF का गुणनफल = 3024 × 6 = 18,144

अतः, LCM × HCF = 336 और 54 का गुणनफल 

प्रश्न 3. अभाज्य गुणनखंड विधि का उपयोग करके निम्नलिखित संख्याओं का LCM और HCF ज्ञात कीजिए।

(i) 12, 15 और 21

(ii) 17, 23 और 29

(iii) 8, 9 और 25

उत्तर :

(i) 12, 15 और 21

तीनों संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड लिखते हैं:
12 = 2 × 2 × 3
15 = 5 × 3
21 = 7 × 3

अतः,
HCF (12, 15, 21) = 3
LCM (12, 15, 21) = 2 × 2 × 3 × 5 × 7 = 420

(ii) 17, 23 और 29

तीनों संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड लिखते हैं:
17 = 17 × 1
23 = 23 × 1
29 = 29 × 1

अतः,
HCF (17, 23, 29) = 1
LCM (17, 23, 29) = 17 × 23 × 29 = 11339

(iii) 8, 9 और 25

तीनों संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड लिखते हैं:
8 = 2 × 2 × 2 × 1
9 = 3 × 3 × 1
25 = 5 × 5 × 1

अतः,
HCF (8, 9, 25) = 1
LCM (8, 9, 25) = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5 = 1800

प्रश्न 4. यदि HCF (306, 657) = 9 है, तो LCM (306, 657) ज्ञात कीजिए।

उत्तर : हम जानते हैं कि,
HCF × LCM = दोनों संख्याओं का गुणनफल

अतः,
9 × LCM = 306 × 657

LCM = (306 × 657) / 9 = 22338

अतः, LCM (306, 657) = 22338

प्रश्न 5. जाँच कीजिए कि क्या 6ⁿ किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए 0 अंक पर समाप्त हो सकता है?

उत्तर : यदि संख्या 6ⁿ का अंतिम अंक 0 हो, तो वह 5 से विभाज्य होनी चाहिए, क्योंकि जिन संख्याओं का अंतिम अंक 0 या 5 होता है, वे 5 से विभाज्य होती हैं।

6ⁿ का अभाज्य गुणनखंड होगा:
6ⁿ = (2 × 3)ⁿ

इसमें अभाज्य संख्या 5 शामिल नहीं है।
अतः, 6ⁿ किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए 5 से विभाज्य नहीं होगा।

इसलिए, यह स्पष्ट है कि 6ⁿ किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए 0 पर समाप्त नहीं हो सकता।

प्रश्न 6. समझाइए कि 7 × 11 × 13 + 13 तथा 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 संयुक्त (Composite) संख्याएँ क्यों हैं।

उत्तर : संयुक्त संख्या वह होती है जिसके 1 और स्वयं के अलावा भी अन्य गुणनखंड होते हैं।

पहले व्यंजक के लिए:
7 × 11 × 13 + 13

13 को सामान्य (common) लेने पर,
= 13(7 × 11 × 1 + 1)
= 13(77 + 1)
= 13 × 78
= 13 × 3 × 2 × 13

अतः, 7 × 11 × 13 + 13 एक संयुक्त संख्या है।

अब दूसरे व्यंजक के लिए:
7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5

5 को सामान्य लेने पर,
= 5(7 × 6 × 4 × 3 × 2 × 1 + 1)
= 5(1008 + 1)
= 5 × 1009

अतः, 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 भी एक संयुक्त संख्या है।

प्रश्न 7. एक खेल मैदान के चारों ओर एक वृत्ताकार पथ है। सोनिया एक चक्कर 18 मिनट में लगाती है, जबकि रवि 12 मिनट में। यदि दोनों एक ही स्थान और समय से एक ही दिशा में चलना शुरू करें, तो वे कितने समय बाद फिर से प्रारंभिक बिंदु पर मिलेंगे?

उत्तर : सोनिया और रवि एक ही दिशा में चल रहे हैं, इसलिए वे फिर से प्रारंभिक बिंदु पर कब मिलेंगे, यह ज्ञात करने के लिए 18 और 12 का LCM निकालते हैं।

18 = 2 × 3 × 3
12 = 2 × 2 × 3

LCM (18, 12) = 2 × 2 × 3 × 3 = 36

अतः, सोनिया और रवि 36 मिनट बाद फिर से प्रारंभिक बिंदु पर मिलेंगे।

Class 10 गणित के लिए क्या है रिवीजन स्ट्रेटेजी ?

Class 10 गणित के लिए सही रिवीजन स्ट्रेटेजी में नियमित अभ्यास, सूत्रों का बार-बार दोहराव, महत्वपूर्ण प्रश्नों का समाधान और मॉक टेस्ट शामिल होते हैं। यह इसलिए महत्वपूर्ण है क्योंकि इससे अवधारणाएँ मजबूत होती हैं, गलतियाँ कम होती हैं और परीक्षा में समय प्रबंधन बेहतर होता है, जिससे अच्छे अंक प्राप्त करने में मदद मिलती है।

• नियमित अभ्यास करें: रोज़ाना गणित के सवाल हल करना बहुत जरूरी है। इससे न केवल कॉन्सेप्ट मजबूत होते हैं, बल्कि सवाल हल करने की गति और आत्मविश्वास भी बढ़ते हैं। हर दिन अलग-अलग प्रकार के प्रश्नों का अभ्यास करें। 

• सूत्रों का दोहराव करें: गणित में फॉर्मूले बहुत महत्वपूर्ण होते हैं। सभी अध्यायों के जरूरी सूत्रों की एक सूची बनाकर रोज़ उन्हें पढ़ें और लिखकर याद करें। इससे परीक्षा में समय बचेगा और गलतियाँ कम होंगी। 

• कमज़ोर टॉपिक्स पर फोकस करें: जिन टॉपिक्स में आपको कठिनाई होती है, उन्हें नज़रअंदाज़ न करें। उन अध्यायों को दोबारा पढ़ें, उदाहरण समझें और अधिक से अधिक प्रश्न हल करें, ताकि वे भी मजबूत हो जाएँ। 

• मॉक टेस्ट और सैंपल पेपर हल करें: समय सीमा में मॉक टेस्ट देने से आपको असली परीक्षा का अनुभव मिलता है। इससे यह भी पता चलता है कि किस सेक्शन में अधिक समय लग रहा है और कहाँ सुधार की जरूरत है। 

• गलतियों का विश्लेषण करें : अभ्यास करते समय जो भी गलतियाँ होती हैं, उन्हें नोट करें और समझें कि गलती क्यों हुई। उन्हें सुधारने की कोशिश करें, ताकि परीक्षा में वही गलती दोबारा न हो और आपका प्रदर्शन बेहतर हो सके।