कक्षा 10 गणित अध्याय 12 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन प्रश्नावली 12.2 NCERT Solution

कक्षा 10 गणित अध्याय 12 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन की प्रश्नावली 12.2 में ठोस आकृतियों के आयतन से जुड़े महत्वपूर्ण प्रश्न शामिल हैं। इस प्रश्नावली में शंकु, बेलन, गोला, अर्धगोला और मिश्रित ठोस आकृतियों पर आधारित प्रश्नों को समझाया गया है। यहाँ आपको सभी NCERT प्रश्नों के आसान और चरण-दर-चरण समाधान मिलेंगे, जिससे आप अवधारणाओं को बेहतर तरीके से समझकर परीक्षा की तैयारी कर सकते हैं।

कक्षा 10 गणित अध्याय 12 प्रश्नावली 12.2 के लिए NCERT Solution 

1. एक ठोस एक शंकु के आकार का है जो एक अर्धगोले पर खड़ा है, जिनकी त्रिज्याएँ 1 cm के बराबर हैं तथा शंकु की ऊँचाई उसकी त्रिज्या के बराबर है। इस ठोस का आयतन pi के पदों में ज्ञात कीजिए।

हल:

यहाँ r = 1cm और h = 1cm है। आरेख इस प्रकार है।

अब, ठोस का आयतन = शंकुकार भाग का आयतन + अर्धगोलाकार भाग का आयतन

हम जानते हैं कि शंकु का आयतन = 1\3 πr 2 h

और, अर्धगोले का आयतन = ⅔πr 3 

इसलिए, ठोस का आयतन होगा:

= π cm 3 

2. एक इंजीनियरिंग के विद्यार्थी रचेल से एक पतली एल्युमिनियम की शीट का प्रयोग करते हुए एक मॉडल बनाने को कहा गया जो एक ऐसे बेलन के आकार का हो जिसके दोनों सिरों पर दो शंकु जुड़े हुए हों। इस मॉडल का व्यास 3 cm है और इसकी लंबाई 12 cm है। यदि प्रत्येक शंकु की ऊँचाई 2 cm हो, तो रचेल द्वारा बनाए गए मॉडल में अंतर्विष्ट हवा का आयतन ज्ञात कीजिए। (यह मान लीजिए कि मॉडल की आंतरिक और बाहरी विमाएँ लगभग बराबर हैं।)

हल:

दिया गया है, बेलनाकार भाग की ऊँचाई =  12–4 = 8 cm 

त्रिज्या 1.5 cm 

शंकु की ऊँचाई = 2 cm 

अब, मॉडल में अंतर्विष्ट हवा का कुल आयतन = बेलन का आयतन + 2×(शंकु का आयतन)

कुल आयतन = πr 2 h+[2×(⅓ πr 2 h )]  

= 18 π+2(1.5 π) 

= 66 cm 3 .

3. एक गुलाबजामुन में उसके आयतन की लगभग 30% चीनी की चाशनी होती है। 45 गुलाबजामुनो में लगभग कितनी चाशनी होगी, यदि प्रत्येक गुलाबजामुन एक बेलन के आकार का है, जिसके दोनों सिरे अर्धगोलाकार हैं तथा इसकी कुल लंबाई 5 cm है और व्यास 2.8 cm है (आकृति देखिए)।

हल:

हम जानते हैं कि गुलाबजामुन दोनों सिरों पर अर्धगोलाकार भागों वाले एक बेलन के समान हैं।

गुलाबजामुन की कुल लंबाई = 5 cm.  

व्यास = 2.8 cm  

इसलिए, त्रिज्या = 1.4 cm  

बेलनाकार भाग की ऊँचाई = 5 cm–(1.4+1.4) cm =2.2 cm 

अब, एक गुलाबजामुन का कुल आयतन = बेलन का आयतन + दो अर्धगोलों का आयतन

= πr 2 h+(4/3)πr 3 

= 4.312π+(10.976/3) π 

= 25.05 cm 3 

हम जानते हैं कि चीनी की चाशनी का आयतन = कुल आयतन का 30%

इसलिए, 45 गुलाबजामुनो में चाशनी का आयतन = 45×30%(25.05 cm 3 ) 

= 45×7.515 

= 338.184 cm 3

4. एक कलमदान लकड़ी से बना है जो एक घनाभ के आकार का है, जिसमें कलम रखने के लिए चार शंकुकार गड्ढे बने हुए हैं। घनाभ की विमाएँ 15 cm $\times$ 10 cm $\times$ 3.5 cm हैं। प्रत्येक गड्ढे की त्रिज्या 0.5 cm है और गहराई 1.4 cm है। पूरे कलमदान में लकड़ी का आयतन ज्ञात कीजिए (आकृति देखिए)।

हल:

घनाभ का आयतन = लंबाई  x चौड़ाई  x  ऊँचाई

घनाभ की विमाएँ 15 cmx10 cmx3.5 cm  हैं।

इसलिए, घनाभ का आयतन = 15x10x3.5 = 525 cm 3  

यहाँ, गड्ढे शंकु के आकार के हैं और हम जानते हैं, शंकु का आयतन = (⅓)πr 2 h  

दिया गया है, त्रिज्या (r) = 0.5 cm और गहराई (h) = 1.4 cm  

4 शंकुओं का आयतन = 4x(⅓)πr 2 h = 1.46 cm 2 

अब, लकड़ी का शेष आयतन = घनाभ का आयतन - 4 x  शंकु का आयतन

= 525-1.46 

= 523.54 cm 2

5. एक बर्तन एक उल्टे शंकु के आकार का है। इसकी ऊँचाई 8 cm है और इसके ऊपरी सिरे (जो खुला है) की त्रिज्या 5 cm है। यह ऊपर तक पानी से भरा हुआ है। जब इस बर्तन में सीसे की कुछ गोलियाँ, जिनमें प्रत्येक 0.5 cm त्रिज्या वाला एक गोला है, डाली जाती हैं, तो इसमें से भरे हुए पानी का एक-चौथाई भाग बाहर निकल जाता है। बर्तन में डाली गई सीसे की गोलियों की संख्या ज्ञात कीजिए।

हल:

शंकु के लिए, त्रिज्या = 5 cm, ऊँचाई= 8 cm 

गोले (सीसे की गोली) की त्रिज्या = 0.5 cm 

आरेख इस प्रकार होगा:

हम जानते हैं कि,

शंकु का आयतन = शंकु में पानी का कुल आयतन =  = ⅓πr 2 h = (200/3)π cm 3 

अब, बाहर बहे हुए पानी का कुल आयतन = (¼)×(200/3) π =(50/3)π  

एक सीसे की गोली का आयतन = (4/3)πr 3 = (1/6) π 

अब, सीसे की गोलियों की संख्या = बाहर बहे हुए पानी का कुल आयतन / एक गोली का आयतन

= (50/3)π/(⅙)π = (50/3)×6 = 100 

6. ऊँचाई 220 cm और आधार व्यास 24 cm वाले एक लोहे के एक ठोस स्तंभ (pole) पर, ऊँचाई 60 cm और त्रिज्या 8 cm वाला एक अन्य बेलन अध्यारोपित है। इस स्तंभ का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए, जबकि दिया गया है कि 1cm3 लोहे का द्रव्यमान लगभग 8 g होता है।

हल:

बड़े बेलन की ऊँचाई (H) = 220 cm 

आधार की त्रिज्या (R) = 24/2 = 12 cm 

इसलिए, बड़े बेलन का आयतन = πR 2 H = π(12) 2 × 220 cm 3 = 99565.8 cm 3 

छोटे बेलन की ऊँचाई (h) = 60 cm 

आधार की त्रिज्या  (r) = 8 cm  

इसलिए, छोटे बेलन का आयतन = πr 2 h

= π(8) 2 ×60 cm 3 

= 12068.5 cm 3  

लोहे का कुल आयतन = बड़े बेलन का आयतन + छोटे बेलन का आयतन

= 99565.8 + 12068.5 =111634.5 cm 3 

हम जानते हैं, द्रव्यमान = घनत्व x  आयतन

इसलिए, स्तंभ का कुल द्रव्यमान= 8×111634.5 = 893 Kg (approx.) 

7. एक ठोस में, ऊँचाई 120 cm और त्रिज्या 60 cm वाला एक शंकु सम्मिलित है, जो 60 cm त्रिज्या वाले एक अर्धगोले पर आरोपित है। इस ठोस को पानी से भरे हुए एक लंब वृत्तीय बेलन में इस प्रकार सीधा डाल दिया जाता है कि यह बेलन की तली को स्पर्श करे। यदि बेलन की त्रिज्या 60 cm है और ऊँचाई 180 cm है, तो बेलन में शेष बचे पानी का आयतन ज्ञात कीजिए।

हल:

यहाँ, शेष बचे पानी का आयतन = बेलन का आयतन - ठोस का आयतन

दिया गया है, शंकु की त्रिज्या = 60 cm 

शंकु की ऊँचाई = 120 cm 

बेलन की त्रिज्या = 60 cm  

बेलन की ऊँचाई = 180 cm 

अर्धगोले की त्रिज्या = 60 cm 

अब, ठोस का कुल आयतन = शंकु का आयतन + अर्धगोले का आयतन

शंकु का आयतन = 1/3πr 2 h 

= 1/3 × π×60 2 ×120cm 3 

= 144×10 3 π cm 3 

अर्धगोले का आयतन = (⅔)×π×60 3 cm 3 

= 144×10 3 π cm 3 

इसलिए, ठोस का कुल आयतन =  144×10 3 π cm 3 + 144×10 3 π cm 3  

= 288 ×10 3 π cm 3 

बेलन का आयतन  = π×60 2 ×180 

= 648000 = 648×10 3 π cm 3

अब, बेलन में शेष बचे पानी का आयतन:

= बेलन का आयतन - ठोस का आयतन

= (648-288) × 10 3 ×π 

= 1.131 m 3

8. एक गोलाकार काँच के बर्तन की एक बेलनाकार गर्दन है जिसकी लंबाई 8 cm है और व्यास 2 cm है; जबकि गोलाकार भाग का व्यास 8.5 cm है। इसमें भरे जा सकने वाले पानी की मात्रा मापकर, एक बच्चे ने यह ज्ञात किया कि इस बर्तन का आयतन  345 cm 3 है। जाँच कीजिए कि उस बच्चे का उत्तर सही है या नहीं, यह मानते हुए कि उपर्युक्त आंतरिक मापन है और π = 3.14 है।

हल:

दिया गया है, बेलनाकार भाग के लिए, ऊँचाई  (h) = 8 cm and Radius (R) = (2/2) cm = 1 cm 

गोलाकार भाग के लिए, त्रिज्या  (r) = (8.5/2) = 4.25 cm 

अब, इस बर्तन का कुल आयतन = बेलनाकार भाग का आयतन + गोलाकार भाग का आयतन

= π×(1) 2 ×8+(4/3)π(4.25) 3 

= 346.51 cm 3

चूँकि वास्तविक आयतन है, इसलिए बच्चे की गणना सही नहीं है।

कक्षा 10 गणित परीक्षा में बेहतर अंक कैसे प्राप्त करें?

कक्षा 10 गणित में अच्छा स्कोर करने के लिए स्पष्ट अवधारणाओं, नियमित अभ्यास और सटीकता तथा उत्तर प्रस्तुतीकरण पर ध्यान देने की आवश्यकता होती है। बेहतर अंक प्राप्त करने के लिए आपको:

• मजबूत अवधारणाएँ बनाएँ:

कक्षा 10 गणित में चरणों को याद करने के बजाय अवधारणाओं को समझने पर ध्यान दें, क्योंकि इससे अनुप्रयोग-आधारित प्रश्नों को हल करने में मदद मिलती है।

• कमजोर क्षेत्रों पर काम करें:

अंकों के नुकसान से बचने के लिए कक्षा 10 गणित के पाठ्यक्रम के कठिन विषयों को छोड़ने के बजाय उन पर ध्यान केंद्रित करें।

• प्रतिदिन सूत्रों का पुनरावृत्ति करें:

PW कक्षा 10 गणित के MIQs का नियमित पुनरावृत्ति करने से परीक्षा में गणना संबंधी गलतियों से बचने में मदद मिलती है।

• नियमित अभ्यास करें:

अपने मूलभूत ज्ञान को मजबूत करने और सटीकता में सुधार करने के लिए CBSE कक्षा 10 के सभी NCERT प्रश्नों को कई बार हल करें।

• पिछले वर्ष के प्रश्नपत्र हल करें:

CBSE कक्षा 10 के पिछले वर्ष के प्रश्नपत्र (PYQs) का अभ्यास करने से आपको प्रश्नों के पैटर्न और महत्वपूर्ण विषयों को समझने में मदद मिलती है।

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