कक्षा 10 गणित अध्याय 1 वास्तविक संख्याएँ प्रश्नावली 1.2 NCERT Solution
Ekta Rakesh Singh17 Aug, 2026
आपको हर चरण को अच्छी तरह से समझने में मदद करने के लिए NCERT Solution स्पष्ट, चरण-दर-चरण प्रारूप में दिए गए हैं। यह आपको यह समझने में मदद करेगा कि एल्गोरिदम को सही तरीके से कैसे लागू किया जाए। इन प्रश्नों का नियमित अभ्यास तार्किक सोच, सटीकता और आत्मविश्वास में सुधार करता है, जो परीक्षाओं में अच्छा स्कोर करने के लिए आवश्यक हैं।
NCERT Solution कक्षा 10 गणित अध्याय 1 प्रश्नावली 1.2
कक्षा 10 गणित अध्याय 1 प्रश्नावली 1.2 के इन NCERT Solutions में अपरिमेय संख्याओं से जुड़े प्रश्नों को आसान और चरणबद्ध तरीके से समझाया गया है।
प्रश्न 1. सिद्ध कीजिए कि √5 एक अपरिमेय संख्या है।
समाधान:
माना, विरोधाभास द्वारा, कि √5 एक परिमेय संख्या है।
इसलिए,
√5 = a/b
जहाँ a और b पूर्णांक हैं, b ≠ 0 है और यह भिन्न अपने सबसे सरल (न्यूनतम) रूप में है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
5 = a² / b²
⇒ a² = 5b²
इसका अर्थ है कि a² 5 से विभाज्य है, इसलिए 5 से विभाज्य है।
माना a = 5k है।
अब मान प्रतिस्थापित करने पर:
a² = (5k)² = 25k²
इसलिए,
25k² = 5b²
⇒ b² = 5k²
b से विभाज्य है 5
इसका अर्थ है कि a और b दोनों 5 से विभाज्य हैं, जो हमारी इस धारणा का विरोधाभास करता है कि a/b अपने सबसे सरल रूप में है।
अतः, √5 एक अपरिमेय संख्या है।
प्रश्न 2. सिद्ध कीजिए कि 3 + √25 एक अपरिमेय संख्या है।
समाधान:
हम जानते हैं:
√25 = 5
इसलिए,
3 + √25 = 3 + 5 = 8
और 8 एक परिमेय संख्या है।
इसलिए, यह कथन कि "3 + √25 एक अपरिमेय संख्या है" असत्य है।
यह वास्तव में परिमेय है।
(यदि प्रश्न का तात्पर्य 3√25 से था, तो वह भी परिमेय है क्योंकि 3√25 = 3×5 = 15 है।)
प्रश्न 3. सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित संख्याएँ अपरिमेय हैं:
(i) 1/√2
समाधान:
माना 1/√2 एक परिमेय संख्या है।
इसका तात्पर्य यह है कि √2 भी परिमेय है (क्योंकि एक परिमेय संख्या का व्युत्क्रम भी परिमेय होता है)।
परंतु √2 एक सुप्रसिद्ध अपरिमेय संख्या है।
अतः हमारी धारणा असत्य है।
इसलिए, 1/√2 अपरिमेय है।
(ii) √7 + √5
समाधान:
माना √7 + √5 एक परिमेय संख्या है।
माना,
√7 + √5 = r quad (r एक परिमेय संख्या है})
तब,
√7 = r – √5
दायाँ पक्ष एक परिमेय और अपरिमेय संख्या का अंतर है, जो कि अपरिमेय होता है।
परंतु बायाँ पक्ष (√7) भी अपरिमेय है, इसलिए दोनों पक्ष मेल खाते हैं।
अब √7 + √5 का वर्ग करने पर:
(√7 + √5)² = 7 + 5 + 2√35
= 12 + 2√35
यदि √7 + √5 परिमेय होती, तो √35 को भी परिमेय होना चाहिए, जो कि असत्य है।
अतः, √7 + √5 अपरिमेय है।
(iii) √6 + √2
समाधान:
माना √6 + √2 एक परिमेय संख्या है।
माना,
√6 + √2 = r{ एक परिमेय संख्या है}
तब,
√6 = r – √2
दायाँ पक्ष अपरिमेय है (परिमेय - अपरिमेय = अपरिमेय)।
परंतु बायाँ पक्ष (√6) भी अपरिमेय है, इसलिए आगे बढ़ते हैं।
व्यंजक का वर्ग करने पर:
(√6 + √2)² = 6 + 2 + 2√12
= 8 + 4√3
यदि √6 + √2 परिमेय होती, तो 4√3 भी परिमेय होती।
⇒ √3 { परिमेय होती, जो कि असत्य है।}
इस प्रकार √6 + √2 अपरिमेय है।
कक्षा 10 गणित परीक्षा में बेहतर अंक कैसे प्राप्त करें?
यहाँ बताया गया है कि आप CBSE कक्षा 10वीं गणित परीक्षा में कैसे अच्छा स्कोर कर सकते हैं:
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मजबूत अवधारणाएँ (Concepts) बनाएँ: कक्षा 10 गणित में चरणों को रटने के बजाय अवधारणाओं को समझने पर ध्यान केंद्रित करें, क्योंकि इससे अनुप्रयोग-आधारित (application-based) प्रश्नों को हल करने में मदद मिलती है।
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नियमित अभ्यास करें: अपने बेसिक्स को मजबूत करने और सटीकता में सुधार करने के लिए सीबीएसई कक्षा 10 एनसीईआरटी के सभी प्रश्नों को कई बार हल करें।
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सूत्रों (Formulas) का दैनिक संपादन (रिवीजन) करें: PW कक्षा 10 गणित के एमआईक्यू (MIQs - महत्वपूर्ण प्रश्न) का नियमित रिवीजन परीक्षाओं में गणना की गलतियों से बचने में मदद करता है।
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पिछले वर्ष के प्रश्न पत्र हल करें: CBSE कक्षा 10 गणित के पिछले वर्ष के प्रश्नों (PYQs) का अभ्यास करने से आपको प्रश्नों के पैटर्न और महत्वपूर्ण विषयों को समझने में मदद मिलती है।
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सैंपल पेपर्स हल करें: PW कक्षा 10 गणित के सैंपल पेपर्स को हल करने से समय प्रबंधन (टाइम मैनेजमेंट) में सुधार होता है और आपको परीक्षा जैसा अभ्यास मिलता है।
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