कक्षा 10 गणित अध्याय 12 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन प्रश्नावली 12.1 NCERT Solution

कक्षा 10 गणित अध्याय 12 (पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन) की प्रश्नावली 12.1 बोर्ड परीक्षा की तैयारी के दृष्टिकोण से एक अत्यंत महत्वपूर्ण खंड है। यह आर्टिकल आपको इस प्रश्नावली के सभी जटिल प्रश्नों के सटीक, चरण-दर-चरण NCERT Solution प्रदान करता है, ताकि आप ठोस आकृतियों के संयोजनों को आसानी से समझ सकें। इसके साथ ही, यहाँ बोर्ड परीक्षा में गणित के स्कोर को बूस्ट करने के लिए बेहतरीन टिप्स और अक्सर पूछे जाने वाले महत्वपूर्ण प्रश्न (FAQs) भी साझा किए गए हैं, जो आपकी गणना की गति और सटीकता को बढ़ाने में मदद करेंगे। 

कक्षा 10 गणित अध्याय 12 प्रश्नावली 12.1 के लिए NCERT Solution

1. 2 घनों, जिनमें से प्रत्येक का आयतन 64 cm3 है, के संलग्न फलकों को मिलाकर एक ठोस बनाया जाता है। इससे प्राप्त घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: आरेख इस प्रकार है:

दिया गया है, प्रत्येक घन का आयतन (V) = 64 cm3 इसका तात्पर्य है कि a3=64 cm3 ∴a=4 cm अब, घन की भुजा = a=4 cm

साथ ही, प्राप्त घनाभ की लंबाई और चौड़ाई प्रत्येक 4 cm होगी, जबकि इसकी ऊंचाई 8 cm होगी। इसलिए, घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb+bh+lh) =2(8×4+4×4+4×8) cm2 =2(32+16+32) cm2 =(2×80) cm2 =160 cm2

2. कोई बर्तन एक खोखले अर्धगोले के आकार का है जिसके ऊपर एक खोखला बेलन अध्यारोपित है। अर्धगोले का व्यास 14 cm है और इस बर्तन की कुल ऊंचाई 13 cm है। इस बर्तन का आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: आरेख इस प्रकार है: 

अब, दिए गए मापदंड हैं: अर्धगोले का व्यास = D = 14 cm अर्धगोले की त्रिज्या = r = 7 cm साथ ही, बेलन की ऊंचाई = h = (13−7)=6 cm और खोखले अर्धगोले की त्रिज्या = 7 cm

अब, बर्तन का आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलनाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) + अर्धगोलाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) =(2πrh+2πr2) cm2 =2πr(h+r) cm2 =2×(722​)×7×(6+7) cm2 =572 cm2

3. एक खिलौना त्रिज्या 3.5 cm वाले एक शंकु के आकार का है, जो उसी त्रिज्या वाले एक अर्धगोले पर अध्यारोपित है। इस खिलौने की संपूर्ण ऊंचाई 15.5 cm है। इस खिलौने का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: आरेख इस प्रकार है:

दिया गया है कि शंकु और अर्धगोले की त्रिज्या (r) = 3.5 cm या 27​ cm खिलौने की कुल ऊंचाई 15.5 cm दी गई है। इसलिए, शंकु की ऊंचाई (h) = 15.5−3.5=12 cm

∴ शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) = πrl =(722​)×(27​)×(225​)=2275​ cm2

साथ ही, अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) = 2πr2 =2×(722​)×(27​)2=77 cm2

अब, खिलौने का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = शंकु का CSA + अर्धगोले का CSA =(2275) + 77 cm² = 2275 + 154 cm² = 2429 cm² = 214.5 cm²

इसलिए, खिलौने का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) 214.5 cm² है।

4. भुजा 7 cm वाले एक घनाकार ब्लॉक के ऊपर एक अर्धगोला रखा हुआ है। अर्धगोले का अधिकतम व्यास क्या हो सकता है? इस प्रकार बने ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: यह दिया गया है कि घन की प्रत्येक भुजा 7 cm है। 

अधिकतम व्यास घन की भुजा के बराबर हो सकता है, जो कि 7 cm है। इसलिए, त्रिज्या (r) = 27​ cm होगी।

हम जानते हैं, ठोस का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) = घनाकार ब्लॉक का पृष्ठीय क्षेत्रफल + अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) - अर्धगोले के आधार का क्षेत्रफल 

∴ ठोस का TSA = 6×(भुजा)2+2πr2−πr2 

=6×(भुजा)2+πr2 

=6×(7)2+(722​)×(27​)×(27​) 

=(6×49)+(277​) 

=294+38.5 =332.5 cm2

इसलिए, ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल 332.5 cm2 है।

5. एक घनाकार लकड़ी के ब्लॉक के एक फलक से एक अर्धगोलाकार गड्ढा इस प्रकार काटा गया है कि अर्धगोले का व्यास l घन के एक किनारे (भुजा) के बराबर है। शेष बचे ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: आरेख इस प्रकार है:

अब, अर्धगोले का व्यास = घन का किनारा = l इसलिए, अर्धगोले की त्रिज्या = 2l​

∴ ठोस का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल + अर्धगोले का CSA - अर्धगोले के आधार का क्षेत्रफल शेष ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6(किनारा)2+2πr2−πr2=6l2+πr2 =6l2+π(2l​)2 =6l2+4πl2​ =4l2​(24+π) वर्ग इकाई

6. दवा का एक कैप्सूल एक बेलन के आकार का है जिसके दोनों सिरों पर एक-एक अर्धगोला लगा हुआ है। पूरे कैप्सूल की लंबाई 14 mm है और उसका व्यास 5 mm है। इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: नीचे दिए गए चित्र में दो अर्धगोले और एक बेलन दिखाए गए हैं। 

यहाँ, कैप्सूल का व्यास = 5 mm ∴ त्रिज्या (r) = 25​=2.5 mm

अब, कैप्सूल की कुल लंबाई = 14 mm इसलिए, बेलनाकार भाग की लंबाई (h) = 14−(2.5+2.5)=9 mm

∴ एक अर्धगोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr2 =2×(722​)×2.5×2.5=7275​ mm2

अब, बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh =2×(722​)×2.5×9=(722​)×45 =7990​ mm2

इस प्रकार, दवा के कैप्सूल का आवश्यक पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा: =2×(अर्धगोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल)+बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल =(2×7275​)+7990​ =(7550​)+7990​ =71540​ =220 mm2

7. कोई तंबू एक बेलन के आकार का है जिस पर एक शंकु अध्यारोपित है। यदि बेलनाकार भाग की ऊंचाई और व्यास क्रमशः 2.1 m और 4 m हैं तथा शंकु की तिर्यक ऊंचाई 2.8 m है, तो इस तंबू को बनाने में प्रयुक्त कैनवास (canvas) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। साथ ही, ₹500 प्रति m2 की दर से इसमें प्रयुक्त कैनवास की लागत ज्ञात कीजिए। (ध्यान दें कि तंबू के आधार को कैनवास से नहीं ढका जाता है।)

उत्तर: हम जानते हैं कि तंबू एक बेलन और एक शंकु का संयोजन है।

प्रश्न से, हम जानते हैं कि व्यास = 4 m 

शंकु की तिर्यक ऊंचाई (l) = 2.8 m शंकु की त्रिज्या (r) = बेलन की त्रिज्या = 24​=2 m बेलन की ऊंचाई (h) = 2.1 m

इसलिए, तंबू का आवश्यक पृष्ठीय क्षेत्रफल = शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल =πrl+2πrh =πr(l+2h) =(722​)×2×(2.8+2×2.1) =(744​)×(2.8+4.2) =(744​)×7 =44 m2

∴ ₹500 प्रति m2 की दर से तंबू के कैनवास की लागत होगी = पृष्ठीय क्षेत्रफल × प्रति m2 लागत =44×500=₹22000

इसलिए, कैनवास की कुल लागत ₹22000 होगी।

8. ऊंचाई 2.4 cm और व्यास 1.4 cm वाले एक ठोस बेलन में से इसी ऊंचाई और इसी व्यास वाला एक शंकुकार खोल (cavity) काट लिया जाता है। शेष बचे ठोस का निकटतम वर्ग सेंटीमीटर तक संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: प्रश्न के लिए आरेख इस प्रकार है:

प्रश्न से, हम निम्नलिखित जानते हैं: बेलन का व्यास = शंकुकार खोल का व्यास = 1.4 cm 

इसलिए, बेलन की त्रिज्या = शंकुकार खोल की त्रिज्या (r) = 1.4​/2=0.7 cm 

साथ ही, बेलन की ऊंचाई = शंकुकार खोल की ऊंचाई (h) = 2.4 cm