अध्याय 14 “प्रायिकता” अभ्यास 14.1 के महत्वपूर्ण प्रश्नों के NCERT Solution

प्रायिकता” का अभ्यास 14.1 विद्यार्थियों को प्रायिकता की प्रारम्भिक अवधारणाओं से परिचित कराता है। इस अभ्यास में सरल और दैनिक जीवन से जुड़े उदाहरणों के माध्यम से यह समझाया गया है कि किसी घटना के घटित होने की संभावना कैसे ज्ञात की जाती है।

NCERT समाधान की सहायता से प्रत्येक प्रश्न को आसान और क्रमबद्ध तरीके से समझाया गया है, जिससे विद्यार्थियों की प्रायिकता विषय पर मजबूत पकड़ बनती है और वे प्रश्नों को आत्मविश्वास के साथ हल कर पाते हैं। इस अभ्यास के प्रश्न सिक्कों, पासों और ताश के पत्तों जैसे वास्तविक जीवन के उदाहरणों पर आधारित हैं, जिससे विषय को समझना अधिक रोचक और व्यावहारिक बन जाता है। विद्यार्थी सभी संभावित परिणामों की पहचान करना तथा अनुकूल परिणामों और कुल परिणामों की तुलना करके प्रायिकता ज्ञात करना सीखते हैं।

“प्रायिकता” अभ्यास 14.1 के महत्वपूर्ण प्रश्नों के समाधान

(i) किसी घटना E की प्रायिकता + घटना ‘not E’ की प्रायिकता = ___________.

(ii) ऐसी घटना की प्रायिकता जो कभी घटित नहीं हो सकती, __________ होती है। ऐसी घटना को __________ कहते हैं।

(iii) ऐसी घटना की प्रायिकता जो निश्चित रूप से घटित होती है, __________ होती है। ऐसी घटना को __________ कहते हैं।

(iv) किसी प्रयोग की सभी प्रारम्भिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग __________ होता है।

(v) किसी घटना की प्रायिकता ___ से बड़ी या उसके बराबर तथा __________ से छोटी या उसके बराबर होती है

हल :

(i) किसी घटना E की प्रायिकता + घटना ‘not E’ की प्रायिकता = 1 ।

(ii) ऐसी घटना की प्रायिकता जो कभी घटित नहीं हो सकती, 0 होती है। ऐसी घटना को असंभव घटना कहते हैं।

(iii) ऐसी घटना की प्रायिकता जो निश्चित रूप से घटित होती है, 1 होती है। ऐसी घटना को निश्चित घटना कहते हैं।

(iv) किसी प्रयोग की सभी प्रारम्भिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग 1 होता है।

(v) किसी घटना की प्रायिकता 0 से बड़ी या उसके बराबर तथा 1 से छोटी या उसके बराबर होती है।

2. निम्न में से किन प्रयोगों के परिणाम समान रूप से संभावित (equally likely) हैं? कारण सहित समझाइए।

(i) एक चालक कार स्टार्ट करने का प्रयास करता है। कार स्टार्ट होती है या स्टार्ट नहीं होती।

(ii) एक खिलाड़ी बास्केटबॉल को टोकरी में डालने का प्रयास करता है। वह शॉट लगाता है या चूक जाता है।

(iii) किसी सही-गलत प्रश्न का उत्तर ज्ञात करने के लिए एक प्रयास किया जाता है। उत्तर सही है या गलत।

(iv) एक बच्चे का जन्म होता है। वह लड़का है या लड़की।

हल  :

(i) इस कथन में परिणाम समान रूप से संभावित नहीं हैं, क्योंकि कार का स्टार्ट होना या न होना विभिन्न कारणों जैसे ईंधन आदि पर निर्भर करता है।

(ii) इस कथन में परिणाम समान रूप से संभावित नहीं हैं, क्योंकि खिलाड़ी शॉट लगा भी सकता है और चूक भी सकता है।

(iii) इस कथन में परिणाम समान रूप से संभावित हैं, क्योंकि यह निश्चित है कि उत्तर या तो सही होगा या गलत।

(iv) इस कथन में भी परिणाम समान रूप से संभावित हैं, क्योंकि नवजात शिशु या तो लड़का हो सकता है या लड़की।

3. फुटबॉल खेल की शुरुआत में किस टीम को गेंद मिलेगी, इसका निर्णय करने के लिए सिक्का उछालना एक निष्पक्ष तरीका क्यों माना जाता है?

हल :सिक्का उछालना एक निष्पक्ष तरीका माना जाता है क्योंकि इसके केवल दो संभावित परिणाम होते हैं, अर्थात् हेड (चित) या टेल (पट)। ये दोनों परिणाम समान रूप से संभावित होते हैं। इसलिए सिक्का उछालने का परिणाम पहले से निश्चित नहीं होता और यह पूरी तरह पक्षपात रहित माना जाता है।

4. निम्न में से कौन-सा किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकता?

(A) 2/3
(B) -1.5
(C) 15%
(D) 0.7

हल : किसी भी घटना EEE की प्रायिकता हमेशा 0 और 1 के बीच होती है, अर्थात् 0≤P(E)≤1 

अतः दिए गए विकल्पों में से (B) −1.5 किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती। 

5. यदि P(E)=0.05 है, तो ‘not E’ की प्रायिकता क्या होगी?

हल : हम जानते हैं कि, P(E)+P(not E)=1

दिया गया है कि, P(E)=0.05

अतः P(not E)=1−P(E)

या, P(not E)=1−0.05 

∴P(not E)=0.95

6. एक थैले में केवल नींबू स्वाद वाली टॉफियाँ हैं। मालिनी बिना देखे उसमें से एक टॉफी निकालती है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह निकालेगी:

(i) संतरे स्वाद वाली टॉफी

(ii) नींबू स्वाद वाली टॉफी

हल : (i) हम जानते हैं कि थैले में केवल नींबू स्वाद वाली टॉफियाँ हैं। अतः, संतरे स्वाद वाली टॉफियों की संख्या = 0 

∴संतरे स्वाद वाली टॉफी निकालने की प्रायिकता  = 0/1 = 0  

(ii) क्योंकि केवल नींबू स्वाद वाली टॉफियाँ हैं, इसलिए P (नींबू स्वाद वाली टॉफी)=1

7. यह दिया गया है कि 3 विद्यार्थियों के एक समूह में, 2 विद्यार्थियों के जन्मदिन समान न होने की प्रायिकता 0.992 है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि 2 विद्यार्थियों का जन्मदिन समान हो।

हल : मान लीजिए वह घटना जिसमें 2 विद्यार्थियों का जन्मदिन समान हो, E है।

दिया है, P(E)=0.992

हम जानते हैं, P(E)+P(not E)=1

अथवा P(not E)=1−0.992=0.008 

2 विद्यार्थियों के जन्मदिन समान होने की प्रायिकता 0.008 है।

8. एक थैले में 3 लाल गेंदें और 5 काली गेंदें हैं। थैले में से एक गेंद यादृच्छिक रूप से निकाली जाती है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाली गई गेंद

(i) लाल हो।

(ii) लाल न हो।

हल : गेंदों की कुल संख्या = लाल गेंदों की संख्या + काली गेंदों की संख्या

अतः, गेंदों की कुल संख्या = 5+3=8

हम जानते हैं कि किसी घटना की प्रायिकता अनुकूल परिणामों की संख्या और कुल परिणामों की संख्या का अनुपात होती है। P(E)= अनुकूल परिणामों की संख्या/ कुल परिणामों की संख्या 

(i) लाल गेंद निकालने की प्रायिकता : P(लाल गेंद)= लाल गेंदों की संख्या/ गेंदों की कुल संख्या =3/8 

(ii) काली गेंद निकालने की प्रायिकता =P(काली गेंद)= काली गेंदों की संख्या/ गेंदों की कुल संख्या =5/8 

9. एक डिब्बे में 5 लाल कंचे, 8 सफेद कंचे और 4 हरे कंचे हैं। डिब्बे में से एक कंचा यादृच्छिक रूप से निकाला जाता है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाला गया कंचा

(i) लाल हो।

(ii) सफेद हो।

(iii) हरा न हो।

हल : कुल कंचों की संख्या = 5+8+4=17

P(E)= अनुकूल परिणामों की संख्या /कुल परिणामों की संख्या 

(i) लाल कंचों की कुल संख्या = 5     P(लाल कंचा)= 5/17 =0.29

(ii) सफेद कंचों की कुल संख्या = 8    P(सफेद कंचा)= 8/17 =0.47 

(iii) हरे कंचों की कुल संख्या = 4     P(हरा कंचा)= 4/17 =0.23 

                                                   ∴P(हरा नहीं)=1−P(हरा कंचा) 

                                                     =1− 4/17 =0.77

10. एक गुल्लक में 100 पचास पैसे के सिक्के, 50 ₹1 के सिक्के, 20 ₹2 के सिक्के और 10 ₹5 के सिक्के हैं। यदि गुल्लक को उल्टा करने पर किसी भी एक सिक्के के बाहर गिरने की संभावना समान है, तो इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि बाहर गिरने वाला सिक्का

(i) 50 पैसे का होगा।

(ii) ₹5 का नहीं होगा।

हल : सिक्कों की कुल संख्या = 100+50+20+10=180

         P(E)= अनुकूल परिणामों की संख्या /कुल परिणामों की संख्या 

       (i) 50 पैसे के सिक्कों की कुल संख्या = 100

       P(50 पैसे का सिक्का)= 100/180 =5/9 =0.55

(ii) ₹5 के सिक्कों की कुल संख्या = 10

P(₹5 का सिक्का)= 100/180 =1/18 =0.055 c

∴P(₹5 का नहीं)=1−P(₹5 का सिक्का) 

=1−0.055=0.945

11. गोपी अपने एक्वेरियम के लिए एक दुकान से मछलियाँ खरीदता है। दुकानदार 5 नर मछलियों और 8 मादा मछलियों वाले टैंक में से एक मछली यादृच्छिक रूप से निकालता है (चित्र 15.4 देखें)। इसकी प्रायिकता क्या है कि निकाली गई मछली नर मछली हो?

हल : टैंक में मछलियों की कुल संख्या = 5+8=13

नर मछलियों की कुल संख्या = 5

P(E)= अनुकूल परिणामों की संख्या/कुल परिणामों की संख्या 

P(नर मछली)= 5/13 =0.38 

12. एक संयोग के खेल में एक तीर को घुमाना शामिल है, जो रुकने पर 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 में से किसी एक संख्या की ओर संकेत करता है (चित्र 15.5 देखें), और ये सभी समान रूप से संभावित परिणाम हैं। इसकी प्रायिकता क्या है कि यह संकेत करेगा

(i) 8 पर

(ii) किसी विषम संख्या पर

(iii) 2 से बड़ी संख्या पर

(iv) 9 से छोटी संख्या पर

हल:  संभावित परिणामों की कुल संख्या = 8

P(E)= अनुकूल परिणामों की संख्या/कुल परिणामों की संख्या 

(i) अनुकूल घटनाओं की कुल संख्या (अर्थात् 8) = 1

∴P(8 पर सूचक रुकना)= 1/8  =0.125 

(ii) विषम संख्याओं की कुल संख्या = 4 (1, 3, 5 और 7)

P(विषम संख्या पर सूचक रुकना)= 4/8 =1/2 =0.5 

(iii) 2 से बड़ी संख्याओं की कुल संख्या = 6 (3, 4, 5, 6, 7 और 8)

P(4 से बड़ी संख्या पर सूचक रुकना) 6/8 =3/4 =0.75 

(iv) 9 से छोटी संख्याओं की कुल संख्या = 8 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 और 8)

P(9 से छोटी संख्या पर सूचक रुकना)= 8/8 =1 

13. एक पासे को एक बार फेंका जाता है। निम्नलिखित प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए:

(i) एक अभाज्य संख्या प्राप्त होना

(ii) 2 और 6 के बीच की संख्या प्राप्त होना

(iii) एक विषम संख्या प्राप्त होना

हल =

पासा फेंकने पर कुल संभावित परिणाम = 6 (1, 2, 3, 4, 5 और 6)

(i) अभाज्य संख्याओं की कुल संख्या = 3 (2, 3 और 5)

P(अभाज्य संख्या प्राप्त होना) = 3/6 = ½ = 0.5 

(ii) 2 और 6 के बीच की संख्याओं की कुल संख्या = 3 (3, 4 और 5)

P(2 और 6 के बीच की संख्या प्राप्त होना) 2 and 6) = 3/6 = ½ = 0.5 

(iii) विषम संख्याओं की कुल संख्या = 3 (1, 3 और 5)

P(विषम संख्या प्राप्त होना)= 3/6 = ½ = 0.5 

14. 52 पत्तों की अच्छी तरह फेंटी गई गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। निम्न की प्रायिकता ज्ञात कीजिए:

(i) लाल रंग का बादशाह (King) प्राप्त होना

(ii) एक चित्र पत्ता (Face Card) प्राप्त होना

(iii) लाल रंग का चित्र पत्ता प्राप्त होना

(iv) दिल का गुलाम (Jack of Hearts) प्राप्त होना

(v) पान (Spade) प्राप्त होना

(vi) ईंट की बेगम (Queen of Diamonds) प्राप्त होना

हल  : कुल संभावित परिणामों की संख्या = 52

P(E)= अनुकूल परिणामों की संख्या/कुल परिणामों की संख्या 

(i) लाल रंग के बादशाहों की कुल संख्या = 2

P(लाल रंग का बादशाह प्राप्त होना)= 2/52 = 1/26 = 0.038 

(ii) चित्र पत्तों की कुल संख्या = 12

P(चित्र पत्ता प्राप्त होना)= 12/52 = 3/13 = 0.23 

(iii) लाल रंग के चित्र पत्तों की कुल संख्या = 6

P(लाल रंग का चित्र पत्ता प्राप्त होना)= 6/52 = 3/26 = 0.11 

(iv) दिल के गुलाम की कुल संख्या = 1

P(दिल का गुलाम प्राप्त होना)= 1/52 = 0.019 

(v) पान के पत्तों की कुल संख्या = 13

P(पान प्राप्त होना) = 13/52 = ¼ = 0.25 

(vi) ईंट की बेगम की कुल संख्या = 1

P(ईंट की बेगम प्राप्त होना)= = 1/52 = 0.019 

15. ईंट (Diamonds) के पाँच पत्ते — दस, गुलाम, बेगम, बादशाह और इक्का — अच्छी तरह फेंटकर उल्टा रखे गए हैं। फिर उनमें से एक पत्ता यादृच्छिक रूप से निकाला जाता है।

(i) पत्ता बेगम (Queen) होने की प्रायिकता क्या है?

(ii) यदि बेगम निकाली जाती है और अलग रख दी जाती है, तो दूसरे निकाले गए पत्ते के
(a) इक्का (Ace) होने की प्रायिकता क्या है?
(b) बेगम (Queen) होने की प्रायिकता क्या है?

हल : पत्तों की कुल संख्या = 5 

P(E)= अनुकूल परिणामों की संख्या /कुल परिणामों की संख्या 

(i) बेगमों की संख्या = 1

P(बेगम चुनना)=  = ⅕ = 0.2 

(ii) यदि बेगम निकाली जाती है और अलग रख दी जाती है, तो बचे हुए पत्तों की कुल संख्या

(5−1)=4

(a) इक्कों की कुल संख्या = 1

P(इक्का चुनना)= 1/4 =0.25 

(b) बेगमों की कुल संख्या = 0

P(बेगम चुनना)=  = 0/4 = 0 

16. 12 खराब पेन गलती से 132 अच्छे पेन के साथ मिला दिए गए हैं। केवल देखकर यह बताना संभव नहीं है कि कौन-सा पेन खराब है। इस समूह में से एक पेन यादृच्छिक रूप से निकाला जाता है। यह ज्ञात कीजिए कि निकाला गया पेन अच्छा होने की प्रायिकता क्या है।

हल :

 पेनों की संख्या = खराब पेन की संख्या + अच्छे पेन की संख्या

∴पेनों की कुल संख्या=132+12=144 

P(E)= अनुकूल परिणामों की संख्या/कुल परिणामों की संख्या 

P(अच्छा पेन चुनना)=  = 132/144 = 11/12 = 0.916 

17.

(i) 20 बल्बों के एक समूह में 4 खराब बल्ब हैं। इस समूह में से एक बल्ब यादृच्छिक रूप से निकाला जाता है। इसकी प्रायिकता क्या है कि यह बल्ब खराब हो?

(ii) मान लीजिए कि (i) में निकाला गया बल्ब खराब नहीं है और उसे वापस नहीं रखा जाता। अब शेष बल्बों में से एक बल्ब यादृच्छिक रूप से निकाला जाता है। इसकी प्रायिकता क्या है कि यह बल्ब खराब न हो?

हल : 

(i) खराब बल्बों की संख्या = 4

बल्बों की कुल संख्या = 20

P(E)= अनुकूल परिणामों की संख्या /कुल परिणामों की संख्या

∴खराब बल्ब मिलने की प्रायिकता 

=P(खराब बल्ब)= 4/20 = ⅕ = 0.2  

(ii) क्योंकि 1 अच्छा बल्ब निकाला गया है, इसलिए बचे हुए बल्बों की कुल संख्या = 19

अतः, कुल घटनाओं (या परिणामों) की संख्या = 19

अखराब (अच्छे) बल्बों की संख्या = 19−4=1519-4=1519−4=15

अतः, बल्ब के खराब न होने की प्रायिकता = 15/19 = 0.789 

18. एक डिब्बे में 90 डिस्क हैं, जिन पर 1 से 90 तक संख्या लिखी हुई है। यदि डिब्बे में से एक डिस्क यादृच्छिक रूप से निकाली जाती है, तो इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि उस पर

(i) दो अंकों की संख्या हो

(ii) पूर्ण वर्ग संख्या हो

(iii) 5 से विभाज्य संख्या हो

हल : डिस्कों की कुल संख्या = 90

P(E)= अनुकूल परिणामों की संख्या/कुल परिणामों की संख्या 

(i) दो अंकों वाली संख्याओं वाली डिस्कों की कुल संख्या = 81

(क्योंकि 1 से 9 तक एक अंकों की संख्याएँ हैं, अतः कुल दो अंकों वाली संख्याएँ 90−9=81 हैं।)

P(दो अंकों वाली संख्या प्राप्त होना)= = 81/90 = 9/10 = 0.9 

(ii) पूर्ण वर्ग संख्याओं की कुल संख्या = 9

(1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 और 81)

P(पूर्ण वर्ग संख्या प्राप्त होना)= = 9/90 = 1/10 = 0.1 

(iii) 5 से विभाज्य संख्याओं की कुल संख्या = 18

(5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85 और 90)

P(5 से विभाज्य संख्या प्राप्त होना)= 18/90 = ⅕ = 0.2

19. एक बच्चे के पास एक पासा है जिसकी छह सतहों पर नीचे दिए गए अक्षर लिखे हुए हैं:

पासा एक बार फेंका जाता है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि प्राप्त होगा:

(i) A

(ii) D

हल : संभावित परिणामों (या घटनाओं) की कुल संख्या = 6

P(E)= अनुकूल परिणामों की संख्या/ कुल परिणामों की संख्या 

(i) A वाले फलक की कुल संख्या = 2

P(A प्राप्त होना)= 2/6 = ⅓ = 0.33 

(ii) D वाले फलक की कुल संख्या = 1

P(D प्राप्त होना)=  = ⅙ = 0.166 

20. मान लीजिए कि आप एक पासे को चित्र 15.6 में दर्शाए गए आयताकार क्षेत्र में यादृच्छिक रूप से गिराते हैं। इसकी प्रायिकता क्या है कि वह 1 m व्यास वाले वृत्त के अंदर गिरेगा?

हल : सबसे पहले आयत का क्षेत्रफल और वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

यहाँ, आयत का क्षेत्रफल कुल संभावित परिणाम होगा और वृत्त का क्षेत्रफल अनुकूल परिणाम होगा।

अतः 

आयत का क्षेत्रफल = = (3×2) m 2 = 6 m 2 और 

वृत्त का क्षेत्रफल πr 2 = π(½) 2 m 2  

= π/4 m 2 = 0.78 

पासे के वृत्त के अंदर गिरने की प्रायिकता  = [(π/4)/6]  

= π/24 or, 0.78/6 = 0.13

21. एक समूह में 144 बॉल पेन हैं, जिनमें से 20 खराब हैं और बाकी अच्छे हैं। नूरी एक पेन तभी खरीदेगी जब वह अच्छा होगा, लेकिन यदि वह खराब हुआ तो वह उसे नहीं खरीदेगी। दुकानदार एक पेन यादृच्छिक रूप से निकालकर उसे देता है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि

(i) वह उसे खरीदेगी।

(ii) वह उसे नहीं खरीदेगी।

हल : 

कुल परिणामों की संख्या, अर्थात् पेन = 144

दिया है, खराब पेन की संख्या = 20

∴अखराब (अच्छे) पेन की संख्या=144−20=124 

P(E)= अनुकूल परिणामों की संख्या/कुल परिणामों की संख्या 

(i) उन घटनाओं की कुल संख्या जिनमें वह पेन खरीदेगी = 124

अतः P(खरीदना)= 124/144 = 31/36 = 0.86  

(ii) उन घटनाओं की कुल संख्या जिनमें वह पेन नहीं खरीदेगी = 20

P(न खरीदना)= 20/144 = 5/36 = 0.138 

(ii) एक छात्र तर्क देता है कि ‘2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 और 12 कुल 11 संभावित परिणाम हैं। इसलिए प्रत्येक की प्रायिकता 1/11 होगी।’ क्या आप इस तर्क से सहमत हैं? अपने उत्तर को उचित ठहराइए।

हल : 

यदि 2 पासे फेंके जाते हैं, तो संभावित घटनाएँ होंगी:

(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)

(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)

(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)

(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)

(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)

(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) 

अतः कुल घटनाओं की संख्या:
6×6 = 36

(i) दिया गया है कि योग 2 प्राप्त करने की प्रायिकता 1/36 है क्योंकि केवल एक ही संभव परिणाम है (1,1)

योग 3 प्राप्त करने के लिए संभावित घटनाएँ (या परिणाम) = E (sum 3) = (1,2) और (2,1)

अतः, P(sum 3) = 2/36

इसी प्रकार,
E (sum 4) = (1,3), (3,1), और (2,2)

अतः, P(sum 4) = 3/36

E (sum 5) = (1,4), (4,1), (2,3), और (3,2)

अतः, P(sum 5) = 4/36

E (sum 6) = (1,5), (5,1), (2,4), (4,2), और (3,3)

अतः, P(sum 6) = 5/36

E (sum 7) = (1,6), (6,1), (5,2), (2,5), (4,3), और (3,4)

अतः, P(sum 7) = 6/36

E (sum 8) = (2,6), (6,2), (3,5), (5,3), और (4,4)

अतः, P(sum 8) = 5/36

E (sum 9) = (3,6), (6,3), (4,5), और (5,4)

अतः, P(sum 9) = 4/36

E (sum 10) = (4,6), (6,4), और (5,5)

अतः, P(sum 10) = 3/36

E (sum 11) = (5,6), और (6,5)

अतः, P(sum 11) = 2/36

E (sum 12) = (6,6)

अतः, P(sum 12) = 1/36

अतः तालिका इस प्रकार होगी:

(ii) यह तर्क सही नहीं है क्योंकि (i) में पहले ही स्पष्ट किया जा चुका है कि सभी संभावित परिणामों की संख्या 36 है, न कि 11।

23. एक खेल में एक रुपये का सिक्का 3 बार उछाला जाता है और हर बार का परिणाम लिखा जाता है। हनीफ जीतता है यदि तीनों उछालों में समान परिणाम आए, अर्थात तीन हेड या तीन टेल, अन्यथा वह हारता है। हनीफ के हारने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल :

संभावित परिणामों की कुल संख्या = 8

(HHH, HHT, HTH, THH, TTH, HTT, THT, TTT)

उन परिणामों की संख्या जिनमें हनीफ हारता है = 6

(HHT, HTH, THH, TTH, HTT, THT)

P(हारने की प्रायिकता) = 6/8 = ¾ = 0.75 

24. एक पासा दो बार फेंका जाता है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि

(i) किसी भी बार 5 नहीं आएगा।

(ii) कम से कम एक बार 5 आएगा।

हल :

पासा दो बार फेंकने पर संभावित परिणाम:
(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)
(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)
(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)
(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)
(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)
(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)

अतः कुल संभावित परिणाम =6×6=36

(i) किसी भी बार 5 नहीं आएगा:

प्रत्येक फेंक में 5 छोड़कर 5 परिणाम संभव हैं, इसलिए

P(5 नहीं आएगा)= 5/6 

दोनों बार 5 न आने की प्रायिकता:5/6 × 5/6 = 25/36

(ii) कम से कम एक बार 5 आएगा:

कम से कम एक 5 आने वाले कुल परिणाम = 11

(पहले या दूसरे स्थान पर 5 आने के 11 तरीके)

P(कम से कम एक बार 5)= 11/36 

25. निम्नलिखित कथनों में से कौन-सा सही है और कौन-सा गलत? कारण सहित उत्तर दीजिए।

हल :

(i) यदि दो सिक्के एक साथ उछाले जाएँ, तो तीन संभावित परिणाम बताए गए हैं—दो हेड, दो टेल या एक-एक। इसलिए प्रत्येक की प्रायिकता 1/3 होगी।

वास्तव में सभी संभावित परिणाम हैं:
(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)

अतः,

दो हेड आने की प्रायिकता = 1/4 

एक-एक (एक हेड और एक टेल) आने की प्रायिकता = 2/4 = ½ 

इसलिए यह कथन गलत है।

(ii) यदि एक पासा फेंका जाए, तो दो संभावित परिणाम होते हैं—विषम संख्या या सम संख्या। इसलिए विषम संख्या आने की प्रायिकता 1/2 होगी।

चूँकि विषम और सम संख्याएँ समान रूप से संभावित हैं, यह कथन सही है।

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