कक्षा 10 गणित अध्याय 8 वृत्त (Circles) प्रश्नावली 8.2 NCERT Solution

मान लीजिए O वृत्त का केंद्र है।

दिया गया है कि, OQ = 25cm and PQ = 24 cm  है।

चूँकि त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा पर लंब होती है,

इसलिए, OP ⊥ PQ होगा।

समकोण त्रिभुज OPQ में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर:

इसलिए, वृत्त की त्रिज्या 7 सेमी है। अतः, विकल्प (A) 7 सेमी सही है।

2. आकृति 10.11 में, यदि TP और TQ केंद्र O वाले किसी वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ इस प्रकार हैं कि  ∠POQ = 110, तो ∠PTQ बराबर है:

(A) 60° (B) 70° (C) 80° (D) 90°

उत्तर: (B)

यह दिया गया है कि TP और TQ स्पर्श रेखाएँ हैं।

इसलिए, इन स्पर्श रेखाओं पर खींची गई त्रिज्या स्पर्श रेखाओं पर लंब होगी।

इस प्रकार, OP ⊥ TP and OQ ⊥ TQ ∠OPT = 90º ∠OQT = 90º 

चतुर्भुज POQT में, सभी आंतरिक कोणों का योग = 360° होता है।

∠OPT + ∠POQ +∠OQT + ∠PTQ = 360° 

⇒ 90°+ 110º + 90° +∠PTQ = 360° 

⇒ ∠PTQ = 70° 

अतः, विकल्प (B) 70° सही है।

3. यदि एक बिंदु P से O केंद्र वाले किसी वृत्त पर PA और PB स्पर्श रेखाएँ परस्पर80°, के कोण पर झुकी हों, तो ∠ POA बराबर है:

(A) 50° (B) 60° (C) 70° (D) 80°

उत्तर: (A)

यह दिया गया है कि PA और PB स्पर्श रेखाएँ हैं।

इसलिए, इन स्पर्श रेखाओं पर खींची गई त्रिज्या स्पर्श रेखाओं पर लंब होगी।

इस प्रकार,OA ⊥ PA and OB ⊥ PB 

∠OBP = 90º 

∠OAP = 90º

चतुर्भुज AOBP में, सभी आंतरिक कोणों का योग = 360° होता है।

∠OAP + ∠APB +∠PBO + ∠BOA = 360° 

90° + 80° +90º +∠BOA = 360° 

∠BOA = 100°

अब, ΔOPB and ΔOPA, AP = BP में,

(एक ही बाहरी बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं)

OA = OB (वृत्त की त्रिज्याएँ)

OP = OP(उभयनिष्ठ/Common भुजा)

इसलिए, ΔOPB ≅ ΔOPA (SSS सर्वांगसमता नियम से)

और इस प्रकार, A ↔ B, P ↔ P, O ↔ O  होगा।

∠POB = ∠POA 

अतः, विकल्प (A) 50° सही है।

4. सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के किसी व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समांतर होती हैं।

उत्तर:

दिया है: CD और EF, केंद्र O वाले एक वृत्त के व्यास AB के सिरों A और B पर स्पर्श रेखाएँ हैं।

सिद्ध करना है: CD || EF

प्रमाण: CD, बिंदु A पर वृत्त की स्पर्शरेखा है।

इसी प्रकार, ∠BAD = 90° EF, बिंदु B पर वृत्त की स्पर्श रेखा है।

∠ABE = 90° 

इस प्रकार, ∠BAD = ∠ABE (प्रत्येक 90° के बराबर है)।

परंतु ये एकांतर आंतरिक कोण (alternate interior angles) हैं।

चूँकि एकांतर कोण बराबर हैं, इसलिए:

CD || EF (इति सिद्धम)

5. सिद्ध कीजिए कि स्पर्श बिंदु से स्पर्श रेखा पर खींचा गया लंब वृत्त के केंद्र से होकर जाता है।

उत्तर:

मान लीजिए, O दिए गए वृत्त का केंद्र है।

एक स्पर्श रेखा PR खींची गई है जो वृत्त को बिंदु P पर स्पर्श करती है।

बिंदु P पर QP ⊥ RP इस प्रकार खींचिए कि बिंदु Q वृत्त पर स्थित हो।

हम जानते हैं कि ∠OPR = 90° (त्रिज्या ⊥ स्पर्श रेखा)

साथ ही, हमें दिया गया है कि ∠QPR = 90° 

∴ ∠OPR = ∠QPR

अब, यह स्थिति केवल तभी संभव है जब केंद्र O रेखा QP पर स्थित हो।

अतः, स्पर्श बिंदु से स्पर्श रेखा पर खींचा गया लंब वृत्त के केंद्र से होकर जाता है। (इति सिद्धम)

6. एक बिंदु A से, जो एक वृत्त के केंद्र से 5 सेमी दूरी पर है, वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई 4 सेमी है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

चूँकि वृत्त के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा, स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है।

इसलिए, यदि P स्पर्श बिंदु है और O केंद्र है, तो ∠OPQ = 90° होगा।

यहाँ दिया गया है कि OQ = 5 cm and PQ = 4 cm सेमी है।

समकोण ΔOPQ,  में, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:

OQ 2 =OP 2 +PQ 2 

OP 2 = (5) 2 – (4) 2 = 25 – 16 =9 ⇒ OP = 3 cm

अतः, वृत्त की त्रिज्या 3 cm है।

7. दो संकेंद्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ 5 सेमी तथा 3 सेमी हैं। बड़े वृत्त की उस जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती हो।

उत्तर:

दिया है: दो वृत्तों का केंद्र एक ही O है और AB बड़े वृत्त की जीवा है जो छोटे वृत्त को बिंदु C पर स्पर्श करती है।

साथ ही, OA = 5 cm और OC = 3 cm  है।

⇒ AC = 4cm 

AB = 2AC चूँकि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित (bisects) करता है, इसलिए:

AB = 2 × 4 =  8 cm  

अतः, बड़े वृत्त की जीवा की लंबाई 8 cm है।

8. एक वृत्त के परिगत एक चतुर्भुज ABCD खींचा गया है (आकृति देखिए)। सिद्ध कीजिए: AB + CD = AD + BC

उत्तर:

हम जानते हैं कि किसी बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं।

AP = AS ……….(i) BP = BQ ……….

(ii) CR = CQ ……….

(iii) DR = DS……….

समीकरण(iv) On adding eq. (i), (ii), (iii) and (iv), को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है:

(AP + BP) + (CR + DR) 

= (AS + BQ) + (CQ + DS) 

->AB + CD 

= (AS + DS) + (BQ + CQ) 

so,AB + CD = AD + BC 

9. आकृति में, XY तथा X′Y′ , O केंद्र वाले किसी वृत्त पर दो समांतर स्पर्श रेखाएँ हैं और स्पर्श बिंदु C पर स्पर्श रेखा AB, XY को A तथा X′Y′ को B पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि ∠ AOB = 90° है।

उत्तर:

दिया है: आकृति में, XY और X′Y′ केंद्र O वाले वृत्त की दो समांतर स्पर्श रेखाएँ हैं। एक अन्य स्पर्श रेखा AB जिसका स्पर्श बिंदु C है, XY को A पर और X′Y′ को B पर काटती है।

रचना: बिंदु O को C से मिलाया।

प्रमाण: ΔOPA and ΔOCA, OP = OC  (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)

AP = AC (बाहरी बिंदु A से खींची गई स्पर्श रेखाएँ)

AO = AO (उभयनिष्ठ/Common भुजा)

ΔOPA ≅ ΔOCA  (SSS सर्वांगसमता नियम से)

CPCT द्वारा, हमें प्राप्त होता है:

P ↔ C, A ↔ A, O ↔ O ∠POA = ∠COA … 

(i)

इसी प्रकार, ΔOQB ≅ ΔOCB ∠QOB = ∠COB …  

चूँकि POQ वृत्त का व्यास है, इसलिए यह एक सीधी रेखा है।

अतः ∠POA + ∠COA + ∠COB + ∠QOB = 180º 

समीकरण (i) और (ii) से मान रखने पर:

2∠COA + 2 ∠COB 

= 180º ∠COA + ∠COB = 90º ∠AOB = 90°

10. सिद्ध कीजिए कि किसी बाहरी बिंदु से किसी वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण, स्पर्श बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण का संपूरक (supplementary) होता है।

उत्तर:

Answer:

मान लीजिए एक वृत्त है जिसका केंद्र O है।

मान लीजिए P एक बाहरी बिंदु है जिससे वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ PA और PB खींची गई हैं, जो वृत्त को क्रमशः बिंदु A और B पर स्पर्श करती हैं और AB स्पर्श बिंदुओं A और B को मिलाने वाला रेखाखंड है, जो वृत्त के केंद्र O पर ∠AOB  अंतरित करता है।

यह देखा जा सकता है कि OA ⊥ PA 

∴ ∠OAP = 90° 

इसी प्रकार, OB ⊥ PB ∴ ∠OBP = 90° 

चतुर्भुज OAPB में, सभी आंतरिक कोणों का योग = 360º  

∠OAP +∠APB +∠PBO +∠BOA = 360º 

⇒ 90º + ∠APB + 90º + ∠BOA = 360º 

⇒ ∠APB + ∠BOA = 180º 

किसी बाहरी बिंदु से किसी वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण, स्पर्श बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण का संपूरक होता है। (इति सिद्धम)

11. सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के परिगत समांतर चतुर्भुज एक समचतुर्भुज (rhombus) होता है।

उत्तर:

दिया है: ABCD एक समांतर चतुर्भुज है जो एक वृत्त के परिगत खींचा गया है।

सिद्ध करना है: ABCD एक समचतुर्भुज है।

प्रमाण: चूँकि, किसी बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं।

हम जानते हैं कि किसी बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं।

∴ AP = AS, 

BP = BQ, 

CR = CQ and 

DR = DS. 

इनको जोड़ने पर:

AP + BP + CR + DR 

= AS + BQ + CQ + DS (AP + BP) + (CR + DR) 

= (AS + DS) + (BQ + CQ) 

∴ AB + CD = AD + BC or 2AB = 2BC (since AB = DC and AD = BC) 

∴ AB = BC = DC = AD. 

इसलिए, ABCD एक समचतुर्भुज है। अतः सिद्ध हुआ।

12. 4 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के परिगत एक त्रिभुज ABC इस प्रकार खींचा गया है कि रेखाखंड BD और DC (जिन्हें स्पर्श बिंदु D द्वारा BC विभाजित होता है) की लंबाइयाँ क्रमशः 8 सेमी और 6 सेमी हैं (आकृति देखिए)। भुजाएँ AB और AC ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

त्रिभुज ΔABC में, एक ही बिंदु से वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं,

∴ CF = CD = 6cm ∴ 

BE = BD = 8cm ∴ AE = AF = x  

हमने यह देखा कि... 

13. सिद्ध कीजिए कि वृत्त के परिगत बने चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ केंद्र पर संपूरक कोण अंतरित करती हैं।

उत्तर:

मान लीजिए ABCD एक चतुर्भुज है जो O केंद्र वाले वृत्त के परिगत इस प्रकार बना है कि यह वृत्त को बिंदुओं P, Q, R, S पर स्पर्श करता है।

चतुर्भुज ABCD के शीर्षों को वृत्त के केंद्र से मिलाइए।

ΔOAP और ΔOAS, AP = AS में,

OP = OS (एक ही बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाएँ)

 OA = OA (उभयनिष्ठ/Common भुजा)

ΔOAP ≅ ΔOAS (SSS सर्वांगसमता नियम से)

∴ ∠POA = ∠AOS ⇒∠1 = ∠8 

इसी प्रकार हमें प्राप्त होता है,

 ∠2 = ∠3 ∠4 = ∠5 ∠6 = ∠7 

इन सभी कोणों को जोड़ने पर,

⇒ (∠1 + ∠8) + (∠2 + ∠3) + (∠4 + ∠5) + (∠6 + ∠7) = 360º 

⇒ 2 ∠1 + 2 ∠2 + 2 ∠5 + 2 ∠6 = 360º 

⇒ 2(∠1 + ∠2) + 2(∠5 + ∠6) = 360º 

⇒ (∠1 + ∠2) + (∠5 + ∠6) = 180º 

⇒ ∠AOB + ∠COD = 180º

इसी प्रकार, हम सिद्ध कर सकते हैं कि ∠ BOC + ∠ DOA = 180º  

अतः, वृत्त के परिगत बने चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ केंद्र पर संपूरक कोण अंतरित करती हैं। (इति सिद्धम)