Class 10 Maths Chapter 3 Exercise 3.1 NCERT Solutions – सरल और पूर्ण हल यहां देखें

Class 10 Maths Chapter 3 Exercise 3.1 NCERT Solutions में दो चर वाले रैखिक समीकरणों को ग्राफ़ की सहायता से समझाया गया है। इसमें यह सिखाया जाता है कि निर्देशांक तल पर समीकरणों का आलेखन कैसे किया जाए और रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु को समाधान के रूप में कैसे पहचाना जाए। यह अवधारणा CBSE पाठ्यक्रम में बहुत महत्वपूर्ण है। इन चरण-दर-चरण समाधानों के जरिये विद्यार्थी विभिन्न स्थितियों जैसे प्रतिच्छेदी रेखाएँ, समांतर रेखाएँ तथा संपाती रेखाएँ को आसानी से समझ सकते हैं।

कक्षा 10 Maths Chapter 3 Exercise 3.1 के NCERT Solutions

प्रश्न 1: निम्नलिखित समस्याओं में रैखिक समीकरणों का युग्म बनाइए और उनका ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए।

(i) कक्षा X के 10 विद्यार्थियों ने एक गणित क्विज़ में भाग लिया। यदि लड़कियों की संख्या लड़कों से 4 अधिक है, तो क्विज़ में भाग लेने वाले लड़कों और लड़कियों की संख्या ज्ञात कीजिए।

(ii) 5 पेंसिल और 7 पेन का कुल मूल्य ₹50 है, जबकि 7 पेंसिल और 5 पेन का कुल मूल्य ₹46 है। एक पेंसिल और एक पेन का मूल्य ज्ञात कीजिए।

हल : 

(i) मान लीजिए लड़कों की संख्या = x और लड़कियों की संख्या = y
दिए गए शर्तों के अनुसार,
x + y = 10
और, x = 10 − y

y के मान 0, 5, 10 रखने पर हमें मिलता है:
x = 10 − 0 = 10
x = 10 − 5 = 5
x = 10 − 10 = 0

अब, लड़कियों की संख्या लड़कों से 4 अधिक है, अर्थात
y = x + 4

x के मान −4, 0, 4 रखने पर:
y = −4 + 4 = 0
y = 0 + 4 = 4
y = 4 + 4 = 8

हम दोनों समीकरणों के बिंदुओं को आलेखित (plot) करके समाधान ज्ञात करते हैं।

(ii) मान लीजिए एक पेंसिल का मूल्य = ₹x और एक पेन का मूल्य = ₹y

दिए गए शर्तों के अनुसार,
5x + 7y = 50
5x = 50 − 7y
x = 10 − 7/5 y

इस समीकरण के तीन हल निम्न प्रकार से एक सारणी में लिखे जा सकते हैं:

इस समीकरण के तीन हल निम्न प्रकार से एक सारणी में लिखे जा सकते हैं:

ग्राफीय निरूपण निम्न प्रकार से किया जाता है:

2.अनुपात a₁/a₂, b₁/b₂ और c₁/c₂ की तुलना करके ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्मों को दर्शाने वाली रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, समानांतर हैं या संपाती हैं:

(i) 5x − 4y + 8 = 0 

(ii)9x + 3y + 12 = 0 7x + 6y – 9 = 018x + 6y + 24 = 0

(iii) 6x − 3y + 10 = 0 2x – y + 9 = 0

हल : 

(i) 5x − 4y + 8 = 0, 7x + 6y − 9 = 0
समीकरण 5x − 4y + 8 = 0 की तुलना a₁x + b₁y + c₁ = 0 से तथा 7x + 6y − 9 = 0 की तुलना a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,

हमें प्राप्त होता है,

We get,

Hence,

 इसलिए हम पाते हैं कि,

(ii) 9x + 3y + 12 = 0, 18x + 6y + 24 = 0 

समीकरण 9x + 3y + 12 = 0 की तुलना a₁x + b₁y + c₁ = 0 से तथा 18x + 6y + 24 = 0 की तुलना a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,

We get,

Hence

We find that,Hence, lines are coincident.
(iii) 6x − 3y + 10 = 0, 2x − y + 9 = 0

समीकरण 6x − 3y + 10 = 0 की तुलना a₁x + b₁y + c₁ = 0 से तथा 2x − y + 9 = 0 की तुलना a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,

प्राप्त होता है

अतः

इसलिए हमे प्राप्त होता है : अतः, रेखाएँ संपाती हैं।

3.अनुपात a₁/a₂, b₁/b₂ तथा c₁/c₂ की तुलना करके ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित रैखिक समीकरणों का युग्म सुसंगत (consistent) है या असुसंगत (inconsistent)।

(i) 3x + 2y = 5, 2x − 3y = 8 

(ii) 2x − 3y = 7, 4x − 6y = 9 

(iii) 3x/2 + 5y/3 = 7, 9x − 10y = 14 

(iv) 5x − 3y = 11, −10x + 6y = −22

(i) 3x + 2y = 5, 2x − 3y = 7 

समीकरण 3x + 2y = 5 की तुलना a₁x + b₁y + c₁ = 0 से तथा 2x − 3y = 7 की तुलना a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,

हमें प्राप्त होता है,

Hence,

अतः ये रैखिक समीकरण केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और इनका केवल एक ही संभव हल होता है।

और, रैखिक समीकरणों का यह युग्म सुसंगत (consistent) 

(ii) 2x − 3y = 7, 4x − 6y = 9 

समीकरण 2x − 3y = 8 की तुलना a₁x + b₁y + c₁ = 0 से तथा 4x − 6y = 9 की तुलना a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,

हमें प्राप्त होता है,

Hence,

अतः, ये रैखिक समीकरण एक-दूसरे के समानांतर हैं और इनका कोई संभव हल नहीं है। इसलिए, रैखिक समीकरणों का यह युग्म असंगत (inconsistent) है। 
(iii) 

9x − 10y = 14

हमें प्राप्त होता है,

Hence,

अतः, ये रैखिक समीकरण एक-दूसरे को केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और इनका केवल एक ही संभव हल होता है।

(iv) 5x − 3y = 11, −10x + 6y = −22 

समीकरण 5x − 3y = 11 की तुलना a₁x + b₁y + c₁ = 0 से तथा 7x + 6y − 9 = 0 की तुलना a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,

हमें प्राप्त होता है,

 
Hence,

अतः, इस रेखाओं के युग्म के अनंत हल होते हैं।

4.निम्नलिखित रैखिक समीकरणों के युग्म में से कौन-से युग्म सुसंगत (consistent) / असंगत (inconsistent) हैं? यदि सुसंगत हों, तो उनका हल ग्राफीय विधि से ज्ञात कीजिए:

(i) x + y = 5, 2x + 2y = 10 

(ii) x – y = 8, 3x − 3y = 16 

(iii) 2x + y = 6, 4x − 2y = 4 

(iv) 2x − 2y – 2 = 0, 4x − 4y – 5 = 0

Answer:

(i) x + y = 5, 2x + 2y = 10 We get,

Hence,

(ii) x – y = 8, 3x − 3y = 16   

We get,Hence,

अतः, ये रैखिक समीकरण एक-दूसरे को एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और इसलिए इनका केवल एक ही संभव हल होता है। इसलिए, रैखिक समीकरणों का यह युग्म सुसंगत (consistent) है।

(iii) 2x + y = 6, 4x − 2y = 4 

We get,

Hence,

अतः, ये रैखिक समीकरण एक-दूसरे को एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और इसलिए इनका केवल एक ही संभव हल होता है। इसलिए, रैखिक समीकरणों का यह युग्म सुसंगत (consistent) है।

(iv) 2x − 2y – 2 = 0, 4x − 4y – 5 = 0 

We get,

Hence,

अतः, ये रैखिक समीकरण एक-दूसरे के समानांतर हैं और इनका कोई संभव हल नहीं है। इसलिए, रैखिक समीकरणों का यह युग्म असंगत (inconsistent) है।

5.एक आयताकार बगीचे का आधा परिमाप 36 मीटर है, जिसकी लंबाई उसकी चौड़ाई से 4 मीटर अधिक है। बगीचे के आयाम ज्ञात कीजिए।

हल : मान लीजिए आयताकार बगीचे की चौड़ाई = x मीटर और लंबाई = y मीटर, तो,

6.दिए गए रैखिक समीकरण (2x + 3y − 8 = 0) के लिए, दो चर वाले ऐसा एक और रैखिक समीकरण लिखिए जिससे बने युग्म का ज्यामितीय निरूपण निम्न प्रकार हो:

(i) प्रतिच्छेदी रेखाएँ 

(ii) समानांतर रेखाएँ 

(iii) संपाती रेखाएँ

हल : (i) मान लीजिए दूसरी रेखा a₂x + b₂y + c₂ = 0 के बराबर है।

प्रतिच्छेदी रेखाएँ (Intersecting Lines): इस स्थिति के लिए,

दूसरी रेखा जो दी गई रेखा को प्रतिच्छेद करती है वह 2x + 4y − 6 = 0 है। क्योंकि,

6=0 As,

(ii) मान लीजिए दूसरी रेखा a₂x + b₂y + c₂ = 0 के बराबर है।

समानांतर रेखाएँ (Parallel Lines): इस स्थिति के लिए,

अतः, दूसरी रेखा 4x + 6y − 8 = 0 हो सकती है। क्योंकि

(iii) मान लीजिए दूसरी रेखा a₂x + b₂y + c₂ = 0 के बराबर है।

संपाती रेखाएँ (Coincident lines): संपाती रेखाओं के लिए,

अतः, दूसरी रेखा 6x + 9y − 24 = 0 हो सकती है। क्योंकि,

7.समीकरण x − y + 1 = 0 तथा 3x + 2y − 12 = 0 के ग्राफ खींचिए। इन रेखाओं तथा x-अक्ष द्वारा बनने वाले त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए और त्रिभुजाकार क्षेत्र को छायांकित कीजिए।

हल : समीकरण x − y + 1 = 0 के लिए, हमारे पास निम्नलिखित बिंदु हैं जो इस रेखा पर स्थित हैं।

समीकरण 3x + 2y − 12 = 0 के लिए,

हमारे पास निम्नलिखित बिंदु हैं जो इस रेखा पर स्थित हैं।