कक्षा 10 गणित अध्याय 3 Exercise 3.3 NCERT Solutions

Class 10 Maths Chapter 3 Exercise 3.3 में दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के युग्म को हल करने की विलोपन और प्रतिस्थापन विधि समझाई गई है। इस अभ्यास में आपको अलग-अलग समीकरणों को सरल करके x और y के मान ज्ञात करना सीखने को मिलता है।

Class 10 Maths Chapter 3 Exercise 3.3 NCERT Solutions में प्रश्नों को आसान चरणों में हल किया गया है, जिससे आप प्रत्येक गणना को समझकर अपनी गलतियों को पहचान सकते हैं। नियमित अभ्यास से रैखिक समीकरणों को हल करने की गति और सटीकता बेहतर की जा सकती है।

Maths Chapter 3 Exercise 3.3 के NCERT Solutions उपलब्ध 

1.निम्नलिखित रैखिक समीकरणों के युग्म को विलोपन विधि तथा प्रतिस्थापन विधि द्वारा हल कीजिए 

(i) x + y = 5 तथा 2x – 3y = 4

(ii) 3x + 4y = 10 तथा 2x – 2y = 2

(iii) 3x – 5y – 4 = 0 तथा 9x = 2y + 7

(iv) x/2 + 2y/3 = -1 तथा x - y/3 = 3

हल : 

(i) x + y = 5 तथा 2x – 3y = 4

विलोपन विधि द्वारा :

x + y = 5 ……………………………….. (i)

2x – 3y = 4 …………………………….. (ii)

जब समीकरण (i) को 2 से गुणा करते हैं, तब हमें प्राप्त होता है :

2x + 2y = 10 …………………………… (iii)

जब समीकरण (ii) को समीकरण (iii) से घटाते हैं, तब हमें प्राप्त होता है :

5y = 6

y = 6/5 ……………………………………… (iv)

अब समीकरण (i) में y का मान रखने पर,

x = 5 − 6/5 = 19/5

∴ x = 19/5 , y = 6/5

प्रतिस्थापन विधि द्वारा :

समीकरण (i) से, हमें प्राप्त होता है :

x = 5 – y ………………………………….. (v)

जब इस मान को समीकरण (ii) में रखते हैं, तब हमें प्राप्त होता है :

2(5 – y) – 3y
= 4

10 – 2y – 3y = 4

-5y = -6

y = 6/5

अब y का मान समीकरण (v) में रखने पर,

x = 5 − 6/5 = 19/5

∴ x = 19/5 , y = 6/5

(ii) 3x + 4y = 10 तथा 2x – 2y = 2

विलोपन विधि द्वारा :

3x + 4y = 10 ………………………. (i)

2x – 2y = 2 ………………………. (ii)

जब समीकरण (ii) को 2 से गुणा करते हैं, तब हमें प्राप्त होता है :

4x – 4y = 4 ……………………….. (iii)

जब समीकरण (i) और (iii) को जोड़ते हैं, तब हमें प्राप्त होता है :

7x = 14

x = 2 ………………………………. (iv)

अब समीकरण (iv) का मान समीकरण (i) में रखने पर, हमें प्राप्त होता है :

6 + 4y = 10

4y = 4

y = 1

अतः, x = 2 तथा y = 1

प्रतिस्थापन विधि द्वारा :

समीकरण (ii) से, हमें प्राप्त होता है :

x = 1 + y ……………………………… (v)

अब समीकरण (v) का मान समीकरण (i) में रखने पर, हमें प्राप्त होता है :

3(1 + y) + 4y = 10

3 + 3y + 4y = 10

7y = 7

y = 1

अब y = 1 को समीकरण (v) में रखने पर,

x = 1 + 1 = 2

अतः, x = 2 तथा y = 1

(iii) 3x – 5y – 4 = 0 तथा 9x = 2y + 7

विलोपन विधि द्वारा :

3x – 5y – 4 = 0 ………………………………… (i)

9x = 2y + 7

9x – 2y – 7 = 0 ………………………………… (ii)

जब समीकरण (i) को 3 से गुणा करते हैं, तब हमें प्राप्त होता है :

9x – 15y – 12 = 0 ……………………………… (iii)

जब समीकरण (ii) को समीकरण (iii) से घटाते हैं, तब हमें प्राप्त होता है :

13y = -5

y = -5/13 …………………………………………. (iv)

अब समीकरण (iv) का मान समीकरण (i) में रखने पर, हमें प्राप्त होता है :

3x + 25/13 − 4 = 0

3x = 27/13

x = 9/13

∴ x = 9/13 तथा y = -5/13

प्रतिस्थापन विधि द्वारा :

समीकरण (i) से, हमें प्राप्त होता है :

x = (5y + 4)/3 …………………………………………… (v)

अब समीकरण (v) का मान समीकरण (ii) में रखने पर, हमें प्राप्त होता है :

9(5y + 4)/3 − 2y − 7 = 0

13y = -5

y = -5/13

अब इस मान को समीकरण (v) में रखने पर, हमें प्राप्त होता है :

x = (5(-5/13) + 4)/3

x = 9/13

∴ x = 9/13 , y = -5/13

(iv) x/2 + 2y/3 = -1 तथा x - y/3 = 3

विलोपन विधि द्वारा :

3x + 4y = -6 …………………………. (i)

x - y/3 = 3

3x – y = 9 ……………………………. (ii)

जब समीकरण (ii) को समीकरण (i) से घटाते हैं, तब हमें प्राप्त होता है :

5y = -15

y = -3 …………………………………. (iii)

अब समीकरण (iii) का मान समीकरण (i) में रखने पर, हमें प्राप्त होता है :

3x – 12 = -6

3x = 6

x = 2

अतः, x = 2 , y = -3

प्रतिस्थापन विधि द्वारा :

समीकरण (ii) से, हमें प्राप्त होता है :

x = (y + 9)/3 ………………………………… (v)

अब समीकरण (v) का मान समीकरण (i) में रखने पर, हमें प्राप्त होता है :

3(y + 9)/3 + 4y = −6

5y = -15

y = -3

अब y = -3 को समीकरण (v) में रखने पर, हमें प्राप्त होता है :

x = (-3 + 9)/3 = 2

अतः, x = 2 तथा y = -3

2.निम्नलिखित समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए तथा विलोपन विधि द्वारा उनके हल (यदि वे मौजूद हों) ज्ञात कीजिए :

(i) यदि हम किसी भिन्न के अंश में 1 जोड़ दें तथा हर में से 1 घटा दें, तो भिन्न 1 हो जाती है। यदि हम केवल हर में 1 जोड़ दें, तो वह हो जाती है। वह भिन्न क्या है?

हल : माना भिन्न a/b है।

दिए गए कथन के अनुसार,

(a+1)/(b-1) = 1

⇒ a – b = -2 ……………………………….. (i)

a/(b+1) = 1/2

⇒ 2a - b = 1 ………………………………… (ii)

जब समीकरण (i) को समीकरण (ii) से घटाते हैं, तब हमें प्राप्त होता है :

a = 3 ………………………………………………….. (iii)

अब a = 3 को समीकरण (i) में रखने पर, हमें प्राप्त होता है :

3 – b = -2

-b = -5

b = 5

अतः, वह भिन्न 3/5 है।

(ii) पाँच वर्ष पहले, नूरी की आयु सोनू की आयु की तीन गुनी थी। दस वर्ष बाद, नूरी की आयु सोनू की आयु की दोगुनी होगी। नूरी और सोनू की आयु कितनी है?

हल : माना नूरी की वर्तमान आयु x वर्ष है तथा सोनू की वर्तमान आयु y वर्ष है।

दिए गए कथन के अनुसार, हम लिख सकते हैं :

x – 5 = 3(y – 5)

x – 3y = -10 ………………………………….. (1)

अब,

x + 10 = 2(y + 10)

x – 2y = 10 ……………………………………. (2)

अब समीकरण (1) को समीकरण (2) से घटाने पर, हमें प्राप्त होता है :

y = 20 …………………………………………. (3)

अब y का मान समीकरण (1) में रखने पर, हमें प्राप्त होता है :

x – 3 × 20 = -10

x – 60 = -10

x = 50

अतः, नूरी की आयु 50 वर्ष है तथा सोनू की आयु 20 वर्ष है।

(iii) किसी दो अंकों की संख्या के अंकों का योग 9 है। साथ ही, इस संख्या का नौ गुना, अंकों के क्रम को उलटकर प्राप्त संख्या के दोगुने के बराबर है। उस संख्या को ज्ञात कीजिए

हल : माना किसी संख्या का इकाई अंक x तथा दहाई अंक y है।

तब, संख्या (N) = 10B + A

अंकों के क्रम को उलटने पर प्राप्त संख्या = 10A + B

दिए गए कथन के अनुसार,

A + B = 9 ………………………………. (i)

9(10B + A) = 2(10A + B)

88B – 11A = 0

-A + 8B = 0 ………………………………………………………….. (ii)

अब समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है :

9B = 9

B = 1 ………………………………………………………………………. (iii)

अब B का मान समीकरण (i) में रखने पर, हमें प्राप्त होता है :

A = 8

अतः, संख्या (N) = 10B + A

= 10 × 1 + 8

= 18

(iv) मीना एक बैंक में Rs. 2,000 निकालने गई। उसने कैशियर से केवल Rs. 50 तथा Rs. 100 के नोट देने को कहा। मीना को कुल 25 नोट प्राप्त हुए। ज्ञात कीजिए कि उसे Rs. 50 और Rs. 100 के कितने-कितने नोट मिले।

हल : माना Rs. 50 के नोटों की संख्या A तथा Rs. 100 के नोटों की संख्या B है।

दिए गए कथन के अनुसार,

A + B = 25 ……………………………………………………………………….. (i)

50A + 100B = 2000 ……………………………………………………………… (ii)

जब समीकरण (i) को 50 से गुणा करते हैं, तब हमें प्राप्त होता है :

50A + 50B = 1250 ………………………………………………………………….. (iii)

अब समीकरण (iii) को समीकरण (ii) से घटाने पर, हमें प्राप्त होता है :

50B = 750

B = 15

अब B = 15 को समीकरण (i) में रखने पर, हमें प्राप्त होता है :

A = 10

अतः, मीना के पास Rs. 50 के 10 नोट तथा Rs. 100 के 15 नोट हैं।

(v) एक उधार पुस्तकालय में पहले तीन दिनों के लिए एक निश्चित शुल्क लिया जाता है तथा उसके बाद प्रत्येक अतिरिक्त दिन के लिए अलग से शुल्क लिया जाता है। सरिता ने एक पुस्तक 7 दिनों तक रखने के लिए Rs. 27 दिए, जबकि सूज़ी ने एक पुस्तक 5 दिनों तक रखने के लिए Rs. 21 दिए। निश्चित शुल्क तथा प्रत्येक अतिरिक्त दिन का शुल्क ज्ञात कीजिए।

हल : माना पहले तीन दिनों का निश्चित शुल्क Rs. A है तथा प्रत्येक अतिरिक्त दिन का शुल्क Rs. B है।

दिए गए कथन के अनुसार,

A + 4B = 27 ………………………………………………………………………. (i)

A + 2B = 21 ……………………………………………………………….. (ii)

अब समीकरण (ii) को समीकरण (i) से घटाने पर, हमें प्राप्त होता है :

2B = 6

B = 3 ………………………………………………………………………… (iii)

अब B = 3 को समीकरण (i) में रखने पर, हमें प्राप्त होता है :

A + 12 = 27

A = 15

अतः, निश्चित शुल्क Rs. 15 है।

तथा प्रति दिन का अतिरिक्त शुल्क Rs. 3 है।

Class 10 Maths Exam में अच्छा स्कोर कैसे करें ? 

कक्षा 10 बोर्ड परीक्षा में अच्छे अंक लाने के लिए नीचे दिए जा रहे सुझावों पर ध्यान दें –

• गणित के सभी अध्यायों के सूत्र, प्रमेय और महत्वपूर्ण अवधारणाओं का नियमित रूप से अध्ययन और रिवीजन करें।

• NCERT किताब के सभी उदाहरण और अभ्यास प्रश्नों को चरणबद्ध तरीके से हल करने का अभ्यास करें।

• हर दिन गणित के प्रश्न हल करके अपनी गति, शुद्धता और आत्मविश्वास को बेहतर बनाएं।

• पिछले वर्षों के प्रश्नपत्र और सैंपल पेपर समय सीमा के भीतर हल करें ताकि परीक्षा पैटर्न समझ सकें।

• कठिन प्रश्नों और कमजोर अध्यायों पर ज्यादा ध्यान दें और उनका बार-बार अभ्यास करें।

• परीक्षा में साफ-सुथरी प्रस्तुति रखें, सभी स्टेप्स लिखें और अंतिम उत्तर को सही तरीके से दर्शाएं।

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