CBSE बोर्ड परीक्षा हेतु Class 10 Maths Chapter 4 Exercise 4.1 NCERT Solutions के साथ संपूर्ण अध्ययन

Class 10 Maths Chapter 4 Exercise 4.1 NCERT Solutions आपको यह समझने में मदद करते हैं कि द्विघात समीकरणों को कैसे पहचाना जाए और वास्तविक जीवन की स्थितियों को गणितीय रूप में कैसे व्यक्त किया जाए। साथ ही यह सिखाया जाता है कि किसी भी समीकरण को उसके सही (मानक) रूप में कैसे पहचाना जाए और शब्दों में दी गई समस्याओं को गणितीय समीकरणों में कैसे बदला जाए।

चरण-दर-चरण हल के माध्यम से प्रत्येक अवधारणा को आसानी से समझा जा सकता है, जिससे सटीकता और तार्किक सोच में सुधार होता है। CBSE पाठ्यक्रम के अनुसार यह अभ्यास आगे के अध्यायों में द्विघात समीकरण हल करने की मजबूत नींव तैयार करता है और समस्या-समाधान कौशल को बेहतर बनाता है।

Class 10 Maths Chapter 4 प्रश्नावली 4.1 का प्रमुख उद्देश्य

• छात्रों को द्विघात समीकरण (Quadratic Equations) के मूल रूप ax² + bx + c = 0 को समझाना।

• गुणनखंड विधि (Factorisation Method) से द्विघात समीकरण हल करना सिखाना।

• समीकरण को दो सरल रैखिक गुणनखंडों में बदलने की क्षमता विकसित करना।

• मूल (solutions) निकालने की प्रक्रिया को आसान और स्पष्ट बनाना।

• बीजगणितीय अभिव्यक्तियों को सरल करने का अभ्यास कराना।

• संकेतों (+, –) और चरणबद्ध हल लिखने की आदत को मजबूत करना।

Class 10 Maths Chapter 4 प्रश्नावली 4.1 के प्रश्नों के हल

1.निम्नलिखित समीकरणों की जाँच कीजिए कि क्या वे द्विघात समीकरण हैं या नहीं:

(i) (x + 1) 2 = 2(x – 3)

(ii) x 2 – 2x = (–2) (3 – x)

(iii) (x – 2)(x + 1) = (x – 1)(x + 3)

(iv) (x – 3)(2x +1) = x(x + 5)

(v) (2x – 1)(x – 3) = (x + 5)(x – 1)

(vi) x 2 + 3x + 1 = (x – 2) 2

(vii) (x + 2) 3 = 2x (x 2 – 1)

(viii) x 3 – 4x 2 – x + 1 = (x – 2) 3

हल : 

(i) दिया गया है,  (x + 1) 2 = 2(x – 3) 

सूत्र (a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2 का उपयोग करने पर 

x 2 + 2x + 1 = 2x – 6 

⇒ x 2 + 7 = 0  

उपरोक्त समीकरण ax  2 + bx + c = 0 के रूप में है।

इस प्रकार : दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण है। 

(ii) दिया गया है, x  2 – 2x = (–2) (3 – x) 

⇒ x 2 – 2x = -6 + 2x 

⇒ x 2 – 4x + 6 = 0 

उपरोक्त समीकरण ax 2 + bx + c = 0 के रूप में है।

इस प्रकार : दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण है। 

(iii) दिया गया है, (x – 2)(x + 1) = (x – 1)(x + 3)  

गुणा करने पर x2 – x – 2 = x 2 + 2x – 3 

⇒ 3x – 1 = 0 

उपरोक्त समीकरण ax 2 + bx + c = 0 के रूप में नहीं है।

इस प्रकार :दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण नहीं है। 

(iv) दिया गया है  (x – 3)(2x +1) = x(x + 5)  

गुणा करने पर 2x2 – 5x – 3 = x 2 + 5x 

⇒  x 2 – 10x – 3 = 0 

उपरोक्त समीकरण  ax 2 + bx + c = 0. के रूप में है।

इस प्रकार: दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण है 

(v) दिया गया है, (2x – 1)(x – 3) = (x + 5)(x – 1)  

गुणा करने पर 2x2 – 7x + 3 = x 2 + 4x – 5

 ⇒ x 2 – 11x + 8 = 0 

उपरोक्त समीकरण ax 2 + bx + c = 0. के रूप में है।

इस प्रकार : दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण है। 

(vi) दिया गया है, x  2 + 3x + 1 = (x – 2) 2 

सूत्र (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2

 ⇒ x 2 + 3x + 1 = x 2 + 4 – 4x 

⇒ 7x – 3 = 0  

उपरोक्त समीकरण ax 2 + bx + c = 0 के रूप में नहीं है।
इस प्रकार : दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण नहीं है।

(vii) दिया गया है,  (x + 2)  3 = 2x(x 2 – 1) 

सूत्र (a+b) 3 = a 3 +b 3 +3ab(a+b) का उपयोग करने पर 

⇒ x 3 + 8 + x 2 + 12x = 2x 3 – 2x

 ⇒ x 3 + 14x – 6x 2 – 8 = 0  

उपरोक्त समीकरण ax 2 + bx + c = 0 के रूप में नहीं है।

इस प्रकार : दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण नहीं है। 

(viii) दिया गया है, x 3 – 4x 2 – x + 1 = (x – 2) 3  

सूत्र  (a-b) 3 = a 3 -b 3 -3ab(a-b) ⇒ 

 x 3 – 4x 2 – x + 1 = x 3 – 8 – 6x 2 + 12x

 ⇒ 2x 2 – 13x + 9 = 0  

उपरोक्त समीकरण ax 2 + bx + c = 0. के रूप में है।
इस प्रकार : दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण है।

2. निम्नलिखित स्थितियों को द्विघात समीकरण के रूप में व्यक्त कीजिए:

(i) एक आयताकार प्लॉट का क्षेत्रफल 528 m² है। प्लॉट की लंबाई (मीटर में) उसकी चौड़ाई की दुगुनी से 1 अधिक है। हमें प्लॉट की लंबाई और चौड़ाई ज्ञात करनी है।

(ii) दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 306 है। हमें वे पूर्णांक ज्ञात करने हैं।

(iii) रोहन की माँ की आयु उससे 26 वर्ष अधिक है। 3 वर्ष बाद उनकी आयु का गुणनफल 360 होगा। हमें रोहन की वर्तमान आयु ज्ञात करनी है।

(iv) एक ट्रेन 480 km की दूरी समान गति से तय करती है। यदि उसकी गति 8 km/h कम होती, तो उसे अधिक समय लगता।

हल : 

(i) माना, आयताकार प्लॉट की चौड़ाई = x m
अतः प्लॉट की लंबाई = (2x + 1) m

जैसा कि हम जानते हैं, आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई = 528 m²
सूत्र में लंबाई और चौड़ाई के मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है
(2x + 1) × x = 528
⇒ 2x² + x = 528
⇒ 2x² + x – 528 = 0

इस प्रकार : प्लॉट की लंबाई और चौड़ाई इस द्विघात समीकरण को संतुष्ट करते हैं, 2x² + x – 528 = 0, जो समस्या का आवश्यक गणितीय निरूपण है।

(ii) मान लीजिए, पहली पूर्णांक संख्या = x
इस प्रकार, अगली क्रमागत धनात्मक पूर्णांक संख्या होगी = x + 1

दो क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल = x × (x + 1) = 306
⇒ x² + x = 306
⇒ x² + x – 306 = 0

इस प्रकार : , दो पूर्णांक x और x + 1, द्विघात समीकरण x² + x – 306 = 0 को संतुष्ट करते हैं, जो समस्या का आवश्यक गणितीय निरूपण है।

(iii) मान लीजिए, रोहन की आयु = x वर्ष
अतः, दी गई जानकारी के अनुसार, रोहन की माता की आयु = x + 26

3 वर्ष बाद, रोहन की आयु = x + 3
रोहन की माता की आयु होगी = x + 26 + 3 = x + 29

3 वर्ष बाद उनकी आयु का गुणनफल 360 के बराबर है, अर्थात
(x + 3)(x + 29) = 360

⇒ x² + 29x + 3x + 87 = 360
⇒ x² + 32x + 87 – 360 = 0
⇒ x² + 32x – 273 = 0

इस प्रकार: , रोहन और उसकी माता की आयु द्विघात समीकरण x² + 32x – 273 = 0 को संतुष्ट करती है, जो समस्या का आवश्यक गणितीय निरूपण है।

(iv) मान लीजिए, ट्रेन की गति = x किमी/घंटा
और 480 किमी की दूरी तय करने में लगने वाला समय = 480/x घंटा

दूसरी स्थिति के अनुसार, ट्रेन की गति = (x – 8) किमी/घंटा
साथ ही दिया गया है कि वही दूरी तय करने में ट्रेन को 3 घंटे अधिक लगते हैं।

इस प्रकार : 480 किमी की दूरी तय करने में समय = (480/x) + 3 घंटा

हम जानते हैं, गति × समय = दूरी

⇒ (x – 8) × (480/x + 3) = 480
⇒ 480 + 3x – 3840/x – 24 = 480
⇒ 3x – 3840/x = 24
⇒ x² – 8x – 1280 = 0

अतः, ट्रेन की गति द्विघात समीकरण x² – 8x – 1280 = 0 को संतुष्ट करती है, जो समस्या का आवश्यक गणितीय निरूपण है।

10 Class Maths Chapter 4 प्रश्नावली 4.1 की तैयारी हेतु जरूरी टिप्स 

Ex 4.1 की तैयारी के लिए नीचे कुछ जरूरी सुझाव दिए जा रहे हैं, जो आपकी बोर्ड परीक्षा की तैयारी में बहुत मदद करेंगे।

• सबसे पहले द्विघात समीकरण का मूल रूप ax² + bx + c = 0 अच्छे से समझें और यह जानें कि इसमें a, b और c का क्या अर्थ होता है।

• गुणनखंड विधि को ध्यान से सीखें और बार-बार अभ्यास करें, क्योंकि Exercise 4.1 के अधिकांश प्रश्न इसी पर आधारित होते हैं।

• हर प्रश्न को क्रमवार (step by step) हल करें और कोई भी चरण बीच में न छोड़ें, ताकि उत्तर में गलती की संभावना कम हो।

• धनात्मक (+) और ऋणात्मक (–) चिह्नों पर विशेष ध्यान दें, क्योंकि फैक्टर निकालते समय सबसे अधिक गलतियाँ इन्हीं में होती हैं।

• NCERT के उदाहरण और पिछले वर्षों के प्रश्न पत्र जरूर हल करें, इससे परीक्षा का पैटर्न समझ में आता है।

• रोजाना कम से कम 5 से 10 द्विघात समीकरणों का अभ्यास करें और अपनी गलतियों को सुधारते हुए निरंतर अभ्यास करें, जिससे विषय पर पकड़ मजबूत हो।

यहां भी पढ़ें: 

• कक्षा 10 गणित अध्याय 12 अभ्यास 12.1 के NCERT समाधान 

• कक्षा 10 गणित अध्याय 12 अभ्यास 12.2 के NCERT समाधान 

• कक्षा 10 गणित अध्याय 8 अभ्यास 8.2 के NCERT समाधान 

• कक्षा 10 गणित अध्याय 7 अभ्यास 7.1 के NCERT समाधान