कक्षा 10 गणित अध्याय 4 “द्विघात समीकरण”–अभ्यास 4.3 के NCERT Solution
Ekta Rakesh Singh18 Aug, 2026
कक्षा 10 गणित अध्याय 4 के अभ्यास 4.3 में द्विघात समीकरणों को “पूर्ण वर्ग बनाने की विधि” से हल करना सिखाया जाता है। इसमें समीकरणों को इस प्रकार बदला जाता है कि वे पूर्ण वर्ग के रूप में परिवर्तित हो जाएँ और फिर उनके मूल आसानी से प्राप्त किए जा सकें। यह विधि छात्रों को समीकरण हल करने का व्यवस्थित तरीका सिखाती है। इस अभ्यास में पदों को सही क्रम में लाकर उन्हें सरल बनाया जाता है और हर चरण को ध्यान से हल किया जाता है। यह टॉपिक CBSE पाठ्यक्रम का महत्वपूर्ण हिस्सा है। इसका नियमित अभ्यास करने से बीजगणित की समझ मजबूत होती है और द्विघात समीकरणों को हल करने में दक्षता बढ़ती है।
गणित अध्याय 4 के अभ्यास 4.3 के NCERT Solution
दिए गए द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए। यदि वास्तविक मूल मौजूद हों, तो उन्हें ज्ञात कीजिए।
1. निम्नलिखित द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए। यदि वास्तविक मूल मौजूद हों, तो उन्हें ज्ञात कीजिए:
(i) 2x² – 3x + 5 = 0
(ii) 3x² – 4√3x + 4 = 0
(iii) 2x² – 6x + 3 = 0
उत्तर:
हम जानते हैं कि द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के
(a) दो अलग-अलग वास्तविक मूल होते हैं, यदि b² – 4ac > 0,
(b) दो समान वास्तविक मूल होते हैं, यदि b² – 4ac = 0,
(c) कोई वास्तविक मूल नहीं होता है, यदि b² – 4ac < 0।
(i) 2x² – 3x + 5 = 0
उत्तर:
दिए गए द्विघात समीकरण की तुलना द्विघात समीकरण के सामान्य रूप ax² + bx + c = 0 से करने पर,
हमें a = 2, b = –3 और c = 5 प्राप्त होता है।
तब, b² – 4ac = (–3)² – 4 × 2 × 5 = 9 – 40 = –31 < 0
अतः, दिए गए द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।
(ii) 3x² – 4√3x + 4 = 0
उत्तर:
दिए गए द्विघात समीकरण की तुलना द्विघात समीकरण के सामान्य रूप ax² + bx + c = 0 से करने पर,
हमें a = 3, b = –4√3 और c = 4 प्राप्त होता है।
तब, b² – 4ac = (–4√3)² – 4 × 3 × 4 = 48 – 48 = 0
अतः, दिए गए समीकरण के वास्तविक मूल मौजूद हैं,
और वे एक-दूसरे के बराबर हैं।
और मूल होंगे
अतः, मूल हैं
(iii) 2x² – 6x + 3 = 0
उत्तर:
दिए गए द्विघात समीकरण की तुलना द्विघात समीकरण के सामान्य रूप ax² + bx + c = 0 से करने पर,
हमें a = 2, b = –6 और c = 3 प्राप्त होता है।
तब, b² – 4ac = (–6)² – 4 × 2 × 3 = 36 – 24 = 12 > 0
अतः, दिए गए द्विघात समीकरण के दो अलग-अलग वास्तविक मूल हैं।
मूल ज्ञात करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करते हुए,
2 निम्नलिखित प्रत्येक द्विघात समीकरण के लिए k का मान ज्ञात कीजिए, ताकि उनके दो समान मूल हों
(i) 2x 2 +kx+3 = 0
हल
दी गई द्विघात समीकरण की तुलना सामान्य रूप ax 2 +bx+c = 0 से करने पर हमें प्राप्त होता है
a = 2, b = k and c = 3
अब दी गई द्विघात समीकरण के दो समान मूल होंगे यदि
b 2 -4ac = 0
(k)2-4×2×3 = 0
k 2 -24 = 0
k 2 = 24
k = ±√24
k = ± 2√6
अतः k का आवश्यक मान ± 2√6 है।
(ii) kx(x-2)+6 = 0
हल
दी गई द्विघात समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है kx 2 -2kx+6 = 0….(1)
समीकरण (1) की तुलना सामान्य रूप ax 2 +bx+c = 0 से करने पर
हमें प्राप्त होता है a = k, b = -2k and c = 6
अब दी गई द्विघात समीकरण के दो समान मूल होंगे यदि
b 2 -4ac = 0
(-2k) 2 -4×k×6 = 0
4k 2 -24k = 0
4k(k-6) = 0
k(k-6) = 0
k = 0
Or, k-6 = 0
k = 6
यदि k=0 तो समीकरण में x 2 और x का पद नहीं रहेगा, जो संभव नहीं है क्योंकि दिया गया समीकरण द्विघात है। अतः, k का आवश्यक मान 6 है।
3:क्या ऐसा आयताकार आम का बाग (mango grove) बनाना संभव है जिसकी लंबाई उसकी चौड़ाई की दुगुनी हो और क्षेत्रफल 800 m² हो? यदि हाँ, तो उसकी लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल
मान लीजिए आम के बाग की चौड़ाई x मीटर है और तथा लंबाई 2x मीटर है।
क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई
= x × 2x
= 2x2 m 2
अब दी गई शर्त के अनुसार,
2x 2 = 800
x 2 = 400
x = ±√400
x = ±20
चूँकि लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए x ≠ -20
अतः ऐसा आयताकार आम का बाग बनाना संभव है जिसकी लंबाई उसकी चौड़ाई
की दुगुनी है और क्षेत्रफल 800 m² है। इसकी चौड़ाई 20 मीटर और लंबाई 20×2 = 40 m
4 क्या निम्नलिखित स्थिति संभव है? यदि हाँ, तो उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
दो मित्रों की आयु का योग 20 वर्ष है। चार वर्ष पहले उनकी आयु का गुणनफल 48 था।
हल
मान लीजिए 1st मित्र की आयु x है।
तब 2nd मित्र की आयु (20-x) होगी।
चार वर्ष पहले उनकी आयु क्रमशः (x-4) और (20-x-4)
अब दी गई शर्त के अनुसार,
(x-4)(16-x) = 48
16x – 64 – x 2 +4x = 48
20x – x 2 – 64 – 48 = 0
x 2 – 20x + 112 = 0……(1)
अब, उपरोक्त द्विघात समीकरण की तुलना सामान्य रूप 2 +bx+c = 0 से करने पर
हमें प्राप्त होता है a = 1, b = -20 and c = 112
अब b 2 -4ac = (-20) 2 -4×1×112 = 400-448 = -48 > 0
अतः इस समीकरण के कोई वास्तविक मूल संभव नहीं हैं, इसलिए यह स्थिति संभव नहीं है।
5 क्या 80 मीटर परिमाप और 400 वर्ग मीटर क्षेत्रफल वाला आयताकार पार्क बनाना संभव है? यदि हाँ, तो उसकी लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल
मान लीजिए पार्क की लंबाई “l”और चौड़ाई “b” है
आयत का परिमाप = 2(l + b)
2(l + b) = 80
l + b = 40
b = 40 – l
तब, क्षेत्रफल = l(40 – l)
अब दी गई शर्त के अनुसार,
l(40 – l) = 400
40l – l 2 -400 = 0
l 2 – 40l + 400 = 0….(1)
अब, उपरोक्त द्विघात समीकरण की तुलना सामान्य रूप ax 2 +bx+c = 0 से करने पर
हमें प्राप्त होता है a = 1, b = -40 and c = 400
अब b 2 -4ac = (-40) 2 -4×1×400 = 1600-1600 = 0
चूँकि द्विघात समीकरण के दो समान मूल हैं, इसलिए दी गई स्थिति संभव है।
अतः पार्क की लंबाई, l = 20 m
और पार्क की चौड़ाई, b = 40 - l = 40 - 20 = 20 m.
Class 10 गणित की परीक्षा में अच्छे अंक कैसे लाएं जा सकते हैं ?
कक्षा 10 गणित में अच्छे अंक प्राप्त करने के लिए अवधारणाओं की मजबूत समझ, नियमित अभ्यास और प्रश्नों को सही तरीके से प्रस्तुत करना बहुत जरूरी है। बेहतर अंक लाने के लिए छात्रों को समय प्रबंधन, सूत्रों की पुनरावृत्ति और सटीक हल पर विशेष ध्यान देना चाहिए।
-
अवधारणाओं को अच्छी तरह समझें : कक्षा 10 गणित में केवल प्रश्न याद करने के बजाय उनके मूल सिद्धांतों को समझने पर ध्यान दें, इससे तर्क आधारित प्रश्न आसानी से हल होते हैं।
-
कमजोर अध्यायों पर विशेष ध्यान दें : कठिन टॉपिक्स को छोड़ने के बजाय उनका नियमित अभ्यास करें, ताकि परीक्षा में अंक न कटें।
-
सूत्रों का नियमित पुनरावृत्ति करें : प्रतिदिन महत्वपूर्ण सूत्रों और MIQs का अभ्यास करने से गणना संबंधी गलतियाँ कम होती हैं।
-
नियमित प्रश्न हल करें: CBSE Class 10 NCERT के सभी प्रश्नों को बार-बार हल करें, इससे आधार मजबूत होता है और सटीकता बढ़ती है।
-
पिछले वर्षों के प्रश्नपत्र हल करें: PYQs का अभ्यास करने से परीक्षा के प्रश्नों का पैटर्न और महत्वपूर्ण टॉपिक्स समझने में मदद मिलती है।
यहां भी पढ़ें:
Ganit adhyay 4 Dvighat samikaran FAQs
Dwighat samikaran kya hota hai?
Dwighat samikaran ko hal karne ki mukhya vidhiyan kaun-si hai?
Board pariksha mein dwighat samikaran adhyay kyon mahatvapurn hai?
Live & recorded classes available at easeDashboard for progress trackingLakhs of practice questions
