कक्षा 10 गणित अध्याय 5 समांतर श्रेढ़ियाँ प्रश्नावली 5.1 NCERT Solution

कक्षा 10 गणित अध्याय 5 (समांतर श्रेढ़ियाँ) प्रश्नावली 5.1 की शुरुआत करने वाले छात्रों के लिए अनुक्रम (sequences) और पैटर्न को समझना बेहद महत्वपूर्ण है। यह अध्याय न केवल आपके तार्किक और समस्या-समाधान कौशल को मजबूत करता है, बल्कि आगामी बोर्ड परीक्षाओं में अच्छे अंक प्राप्त करने के लिए एक ठोस आधार भी तैयार करता है। इस लेख में, हम आपको प्रश्नावली 5.1 के सभी प्रश्नों के स्पष्ट, चरण-दर-चरण NCERT Solution प्रदान कर रहे हैं, ताकि आप समांतर श्रेढ़ी (AP) की पहचान करना, प्रथम पद (a) और सार्व अंतर (d) ज्ञात करना आसानी से सीख सकें। इसके साथ ही, यहाँ परीक्षा में बेहतर स्कोर करने के लिए कुछ बेहतरीन टिप्स और महत्वपूर्ण सामान्य प्रश्न (FAQs) भी साझा किए गए हैं।

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 Exercise 5.1

कक्षा 10 गणित अध्याय 5 प्रश्नावली 5.1 के NCERT Solutions में समांतर श्रेढ़ी (AP), प्रथम पद और सार्व अंतर से जुड़े प्रश्नों को आसान और चरणबद्ध तरीके से समझाया गया है।

1. निम्नलिखित स्थितियों में से किन स्थितियों में संबद्ध संख्याओं की सूची एक समांतर श्रेढ़ी (AP) है और क्यों?

(i) प्रत्येक किलोमीटर के बाद का टैक्सी का किराया, जबकि प्रथम किलोमीटर के लिए किराया ₹15 है और प्रत्येक अतिरिक्त किलोमीटर के लिए किराया ₹8 है।

हल:

दी गई स्थिति को हम इस प्रकार लिख सकते हैं:

1 किमी के लिए टैक्सी का किराया = 15

पहले 2 किमी के लिए टैक्सी का किराया = 15 + 8 = 23

पहले 3 किमी के लिए टैक्सी का किराया = 23 + 8 = 31

पहले 4 किमी के लिए टैक्सी का किराया = 31 + 8 = 39, और इसी तरह...

इस प्रकार, 15, 23, 31, 39 ... एक A.P. बनाता है क्योंकि प्रत्येक अगला पद अपने पिछले पद से 8 अधिक है।

(ii) किसी बेलन (cylinder) में उपस्थित हवा की मात्रा, जबकि वायु निकालने वाला पंप प्रत्येक बार बेलन की शेष हवा का 1/4 भाग बाहर निकाल देता है।

हल:

मान लीजिए कि बेलन में हवा का प्रारंभिक आयतन V लीटर है।

प्रत्येक स्ट्रोक में, वैक्यूम पंप एक बार में बेलन की शेष हवा का 1/4 भाग निकाल देता है। दूसरे शब्दों में, हम कह सकते हैं कि प्रत्येक स्ट्रोक के बाद, हवा का 1 - 1/4 = 3/4 भाग शेष रहेगा।

इसलिए, आयतन इस प्रकार होंगे: V, 3V/4, (3V/4)^2, (3V/4)^3 ... और इसी तरह।

स्पष्ट रूप से, हम यहाँ देख सकते हैं कि इस श्रेणी के आस-पास के पदों के बीच एक समान (common) अंतर नहीं है। इसलिए, यह श्रेणी एक A.P. नहीं है।

(iii) प्रत्येक मीटर की खुदाई के बाद, एक कुआँ खोदने की लागत, जबकि प्रथम मीटर खुदाई की लागत ₹150 है और बाद में प्रत्येक मीटर खुदाई की लागत ₹50 बढ़ती जाती है।

हल:

दी गई स्थिति को हम इस प्रकार लिख सकते हैं:

पहले मीटर के लिए कुआँ खोदने की लागत = ₹150

पहले 2 मीटर के लिए कुआँ खोदने की लागत = 150 + 50 = ₹200

पहले 3 मीटर के लिए कुआँ खोदने की लागत = 200 + 50 = ₹250

पहले 4 मीटर के लिए कुआँ खोदने की लागत = 250 + 50 = ₹300, और इसी तरह...

स्पष्ट रूप से, 150, 200, 250, 300 ... एक A.P. बनाता है जिसमें प्रत्येक पद के बीच 50 का सार्व अंतर है।

(iv) खाते में प्रत्येक वर्ष का मिश्रधन, जबकि ₹10,000 की राशि 8% वार्षिक की दर से चक्रवृद्धि ब्याज पर जमा की जाती है।

हल:

हम जानते हैं कि यदि P रुपये r% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज की दर से n वर्षों के लिए जमा किए जाते हैं, तो मिश्रधन P(1 + r/100)^n होगा।

इसलिए, प्रत्येक वर्ष के बाद, धन की राशि होगी:

10000(1 + 8/100), 10000(1 + 8/100)^2, 10000(1 + 8/100)^3 ......

स्पष्ट रूप से, इस श्रेणी के पदों के बीच एक समान अंतर नहीं है। इसलिए, यह एक A.P. नहीं है।

2. दी हुई A.P. के प्रथम चार पद लिखिए, जबकि प्रथम पद a और सार्व अंतर d निम्नलिखित हैं:

(i) a = 10, d = 10

हल:

माना समांतर श्रेढ़ी a_1, a_2, a_3, a_4 \dots है।

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 … a 1 = 

a = 10 

a 2 = a 1 + d = 10+10 = 20 

a3 = a 2 + d = 20+10 = 30 

a 4 = a 3 + d = 30+10 = 40 

a 5 = a 4 + d = 40+10 = 50

अतः, A.P. श्रेणी 10, 20, 30, 40, 50 … होगी। और इस A.P. के पहले चार पद 10, 20, 30 और 40 होंगे।

(ii) a = -2, d = 0

मान लेते हैं कि अंकगणितीय प्रगति (A.P.) श्रेणी a₁, a₂, a₃, a₄, a₅ … है।

a 1 = a = -2 

a 2 = a 1 + d = – 2+0 = – 2 

a 3 = a 2 +d = – 2+0 = – 2 

a 4 = a 3 + d = – 2+0 = – 2

अतः, A.P. श्रेणी –2, –2, –2, –2 … होगी। और इस A.P. के पहले चार पद –2, –2, –2 और –2 होंगे।

(iii) a = 4, d = -3

मान लेते हैं कि अंकगणितीय प्रगति (A.P.) श्रेणी a₁, a₂, a₃, a₄, a₅ … है।

a 1 = a = 4 

a 2 = a 1 + d = 4-3 = 1 

a 3 = a 2 + d = 1-3 = – 2 

a 4 = a 3 + d = -2-3 = – 5

अतः, A.P. श्रेणी 4, 1, –2, –5 … होगी। और इस A.P. के पहले चार पद 4, 1, –2 और –5 होंगे। 

(iv) a = -1, d = 1/2

मान लेते हैं कि अंकगणितीय प्रगति (A.P.) श्रेणी a₁, a₂, a₃, a₄, a₅ … है। 

a 2 = a 1 + d = -1+1/2 = -1/2 

a 3 = a 2 + d = -1/2+1/2 = 0 

a 4 = a 3 + d = 0+1/2 = 1/2 

अतः, A.P. श्रेणी –1, –1/2, 0, 1/2 होगी। और इस A.P. के पहले चार पद –1, –1/2, 0 और 1/2 होंगे।

(v) a = -1.25, d = -0.25

मान लेते हैं कि अंकगणितीय प्रगति (A.P.) श्रेणी a₁, a₂, a₃, a₄, a₅ … है।

a 1 = a = – 1.25 

a 2 = a 1 + d = – 1.25-0.25 = – 1.50 

a 3 = a 2 + d = – 1.50-0.25 = – 1.75 

a 4 = a 3 + d = – 1.75-0.25 = – 2.00 

अतः, A.P. श्रेणी 1.25, –1.50, –1.75, –2.00 … होगी। और इस A.P. के पहले चार पद –1.25, –1.50, –1.75 और –2.00 होंगे।

3. निम्नलिखित में से प्रत्येक A.P. के लिए प्रथम पद तथा सार्व अंतर लिखिए:

(i) 3, 1, – 1, – 3 …

हल: प्रथम पद a = 3, सार्व अंतर d = 1 - 3 = -2

(ii) -5, – 1, 3, 7 …

हल: प्रथम पद a = -5, सार्व अंतर d = (-1) - (-5) = -1 + 5 = 4

(iii) 1/3, 5/3, 9/3, 13/3 ….

हल: प्रथम पद a = 1/3, सार्व अंतर d = 5/3 - 1/3 = 4/3

(iv) 0.6, 1.7, 2.8, 3.9 …

हल: प्रथम पद a = 0.6, सार्व अंतर d = 1.7 - 0.6 = 1.1

4. निम्नलिखित में से कौन-कौन A.P. हैं? यदि कोई A.P. है, तो इसका सार्व अंतर d ज्ञात कीजिए और इनके तीन और पद लिखिए।

(चुनिंदा प्रमुख हल)

(i) 2, 4, 8, 16 …

हल: a_2 - a_1 = 2, a_3 - a_2 = 4। अंतर समान नहीं है, अतः यह A.P. नहीं है।

(ii) 2, 5/2, 3, 7/2 ….

हल: यहाँ सार्व अंतर d = 1/2 है। यह A.P. है। अगले तीन पद: 4, 9/2, 5

(v) 3, 3 + √2, 3 + 2√2, 3 + 3√2

हल: a 2 – a 1 = 3+√2-3 = √2 a 3 – a 2 = (3+2√2)-(3+√2) = √2 a 4 – a 3 = (3+3√2) – (3+2√2) = √2 a n +1 – a n  या समान अंतर हर बार समान है। इसलिए, d = √2, और दी गई श्रेणी एक ______ बनाती है A.P. अतः, अगले तीन पद हैं। a 5 = (3+√2) +√2 = 3+4√2 a 6 = (3+4√2)+√2 = 3+5√2 a 7 = (3+5√2)+√2 = 3+6√2 

(vi) 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222 ….

यहाँ, a₂ – a₁ = 0.22 – 0.2 = 0.02
a₃ – a₂ = 0.222 – 0.22 = 0.002
a₄ – a₃ = 0.2222 – 0.222 = 0.0002

aₙ₊₁ – aₙ या समान अंतर हर बार समान नहीं है। इसलिए, दी गई श्रेणी A.P. नहीं बनाती है।

(vii) 0, -4, -8, -12 …

यहाँ, a₂ – a₁ = (-4) – 0 = -4
a₃ – a₂ = (-8) – (-4) = -4
a₄ – a₃ = (-12) – (-8) = -4

aₙ₊₁ – aₙ या समान अंतर हर बार समान है। इसलिए, d = -4 और दी गई श्रेणी A.P. बनाती है।

अतः, अगले तीन पद हैं:

a₅ = -12 - 4 = -16
a₆ = -16 - 4 = -20
a₇ = -20 - 4 = -24

(viii) -1/2, -1/2, -1/2, -1/2 ….

यहाँ, a₂ – a₁ = (-1/2) – (-1/2) = 0
a₃ – a₂ = (-1/2) – (-1/2) = 0
a₄ – a₃ = (-1/2) – (-1/2) = 0

aₙ₊₁ – aₙ या समान अंतर हर बार समान है। इसलिए, d = 0 और दी गई श्रेणी A.P. बनाती है।

अतः, अगले तीन पद हैं:

a₅ = (-1/2) - 0 = -1/2
a₆ = (-1/2) - 0 = -1/2
a₇ = (-1/2) - 0 = -1/2

(ix) 1, 3, 9, 27 …

यहाँ, a₂ – a₁ = 3 - 1 = 2
a₃ – a₂ = 9 - 3 = 6
a₄ – a₃ = 27 - 9 = 18

aₙ₊₁ – aₙ या समान अंतर हर बार समान नहीं है। इसलिए, दी गई श्रेणी A.P. नहीं बनाती है।

(x) a, 2a, 3a, 4a …

यहाँ, a₂ – a₁ = 2a – a = a
a₃ – a₂ = 3a - 2a = a
a₄ – a₃ = 4a - 3a = a

aₙ₊₁ – aₙ या समान अंतर हर बार समान है। इसलिए, d = a और दी गई श्रेणी A.P. बनाती है।

अतः, अगले तीन पद हैं:

a₅ = 4a + a = 5a
a₆ = 5a + a = 6a
a₇ = 6a + a = 7a

(xi) a, a², a³, a⁴ …

यहाँ, a₂ – a₁ = a² – a = a(a - 1)
a₃ – a₂ = a³ – a² = a²(a - 1)
a₄ – a₃ = a⁴ – a³ = a³(a - 1)

aₙ₊₁ – aₙ या समान अंतर हर बार समान नहीं है। इसलिए, दी गई श्रेणी A.P. नहीं बनाती है।

(xii) √2, √8, √18, √32 …

यहाँ, a₂ – a₁ = √8 - √2 = 2√2 - √2 = √2
a₃ – a₂ = √18 - √8 = 3√2 - 2√2 = √2
a₄ – a₃ = 4√2 - 3√2 = √2

aₙ₊₁ – aₙ या समान अंतर हर बार समान है।

इसलिए, d = √2 और दी गई श्रेणी A.P. बनाती है।

अतः, अगले तीन पद हैं:

a₅ = √32 + √2 = 4√2 + √2 = 5√2 = √50
a₆ = 5√2 + √2 = 6√2 = √72
a₇ = 6√2 + √2 = 7√2 = √98

(xiii) √3, √6, √9, √12 …

यहाँ, a₂ – a₁ = √6 - √3 = √3 × √2 - √3 = √3(√2 - 1)
a₃ – a₂ = √9 - √6 = 3 - √6 = √3(√3 - √2)
a₄ – a₃ = √12 – √9 = 2√3 – √3 × √3 = √3(2 - √3)

aₙ₊₁ – aₙ या समान अंतर हर बार समान नहीं है।

इसलिए, दी गई श्रेणी A.P. नहीं बनाती है।

(xiv) 1², 3², 5², 7² …

या, 1, 9, 25, 49 …..

यहाँ, a₂ − a₁ = 9 − 1 = 8
a₃ − a₂ = 25 − 9 = 16
a₄ − a₃ = 49 − 25 = 24

aₙ₊₁ – aₙ या समान अंतर हर बार समान नहीं है।

इसलिए, दी गई श्रेणी A.P. नहीं बनाती है।

(xv) 1², 5², 7², 73 …

या 1, 25, 49, 73 …

यहाँ, a₂ − a₁ = 25 − 1 = 24
a₃ − a₂ = 49 − 25 = 24
a₄ − a₃ = 73 − 49 = 24

aₙ₊₁ – aₙ या समान अंतर हर बार समान है।

इसलिए, d = 24 और दी गई श्रेणी A.P. बनाती है।

अतः, अगले तीन पद हैं:

a₅ = 73 + 24 = 97
a₆ = 97 + 24 = 121
a₇ = 121 + 24 = 145

कक्षा 10 गणित परीक्षा में बेहतर अंक कैसे प्राप्त करें?

कक्षा 10 गणित में अच्छे अंक प्राप्त करने के लिए स्पष्ट अवधारणाओं (concepts), नियमित अभ्यास और सटीकता तथा उत्तर प्रस्तुतिकरण पर ध्यान देने की आवश्यकता होती है। बेहतर स्कोर करने के लिए आपको यह करना चाहिए:

• मजबूत वैचारिक आधार (Concepts) बनाएँ: कक्षा 10 गणित में चरणों को रटने के बजाय अवधारणाओं को समझने पर ध्यान केंद्रित करें, क्योंकि इससे अनुप्रयोग-आधारित (application-based) प्रश्नों को हल करने में मदद मिलती है।

• कमजोर क्षेत्रों पर काम करें: अंकों के नुकसान से बचने के लिए कक्षा 10 गणित के पाठ्यक्रम से कठिन विषयों को छोड़ने के बजाय उन पर ध्यान केंद्रित करें।

• सूत्रों का प्रतिदिन दोहराव करें: कक्षा 10 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्नों (MIQs) का नियमित दोहराव परीक्षा में गणना की गलतियों से बचने में मदद करता है।

• नियमित अभ्यास करें: अपने आधार को मजबूत करने और सटीकता में सुधार करने के लिए सभी CBSE कक्षा 10 NCERT प्रश्नों को कई बार हल करें।

• पिछले वर्षों के प्रश्न पत्र हल करें: CBSE कक्षा 10 गणित के पिछले वर्षों के प्रश्नों (PYQs) का अभ्यास करने से आपको प्रश्न पैटर्न और महत्वपूर्ण विषयों को समझने में मदद मिलती है।

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