कक्षा 10 गणित अध्याय 5 समांतर श्रेढ़ियाँ प्रश्नावली 5.3 NCERT Solution
Ekta Rakesh Singh18 Aug, 2026
कक्षा 10 गणित अध्याय 5 अभ्यास 5.3 के NCERT Solutions एक अंकगणितीय प्रगति का योग ज्ञात करने पर केंद्रित हैं। यह अभ्यास ऐसे सूत्रों का परिचय कराता है जो आपको पूरे अनुक्रम को लिखे बिना दिए गए पदों की संख्या का कुल योग ज्ञात करने में मदद करते हैं, जिससे यह CBSE 10वीं गणित पाठ्यक्रम का एक महत्वपूर्ण हिस्सा बन जाता है।
ये NCERT Solutions चरण-दर-चरण समझाए गए हैं, ताकि आप समझ सकें कि प्रथम पद, सार्व अंतर और पदों की संख्या जैसे मानों का एक साथ कैसे उपयोग किया जाता है। इन प्रश्नों का अभ्यास करने से आपको गणना की सटीकता में सुधार करने और अनुक्रम-आधारित प्रश्नों को हल करने में आत्मविश्वास बढ़ाने में मदद मिलेगी।
कक्षा 10 गणित अध्याय 5 प्रश्नावली 5.3 के NCERT Solution
कक्षा 10 गणित अध्याय 5 प्रश्नावली 5.3 के NCERT Solutions में समांतर श्रेढ़ी (A.P.) के सभी प्रश्नों को आसान और चरण-दर-चरण तरीके से समझाया गया है।
1. निम्नलिखित A.P. का योग ज्ञात कीजिए।
(i) 2, 7, 12, …, 10 पदों तक
हल:
दी गई A.P. है: 2, 7, 12, …, 10 पदों तक।
इस A.P. के लिए,
प्रथम पद,
a = 2
सार्व अंतर,
d = a₂ − a₁
= 7 − 2
= 5
n = 10
हम जानते हैं कि A.P. के n पदों के योग का सूत्र है:
Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d]
S₁₀ = 10/2 [2(2) + (10 − 1) × 5]
= 5[4 + 9 × 5]
= 5 × 49
= 245
अतः, A.P. के 10 पदों का योग 245 है।
(ii) −37, −33, −29, …, 12 पदों तक
हल:
दी गई A.P. है: −37, −33, −29, …, 12 पदों तक।
इस A.P. के लिए,
प्रथम पद,
a = −37
सार्व अंतर,
d = a₂ − a₁
= (−33) − (−37)
= −33 + 37
= 4
n = 12
हम जानते हैं,
Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d]
S₁₂ = 12/2 [2(−37) + (12 − 1) × 4]
= 6[−74 + 11 × 4]
= 6[−74 + 44]
= 6(−30)
= −180
अतः, A.P. के 12 पदों का योग −180 है।
(iii) 0.6, 1.7, 2.8, …, 100 पदों तक
हल:
दी गई A.P. है: 0.6, 1.7, 2.8, …, 100 पदों तक।
प्रथम पद,
a = 0.6
सार्व अंतर,
d = a₂ − a₁
= 1.7 − 0.6
= 1.1
n = 100
हम जानते हैं,
Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d]
S₁₀₀ = 100/2 [2(0.6) + (100 − 1) × 1.1]
= 50[1.2 + 99 × 1.1]
= 50[1.2 + 108.9]
= 50[110.1]
= 5505
अतः, A.P. के 100 पदों का योग 5505 है।
(iv) 1/15, 1/12, 1/10, …, 11 पदों तक
हल:
दी गई A.P. है: 1/15, 1/12, 1/10, …, 11 पदों तक।
प्रथम पद,
a = 1/15
सार्व अंतर,
d = a₂ − a₁
= 1/12 − 1/15
= (5 − 4)/60
= 1/60
पदों की संख्या,
n = 11
हम जानते हैं,
Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d]
S₁₁ = 11/2 [2/15 + 10/60]
= 11/2 [2/15 + 1/6]
= 11/2 [9/30]
= 33/20
अतः, A.P. के 11 पदों का योग 33/20 है।
2. निम्नलिखित योग ज्ञात कीजिए।
(i) 7 + 10.5 + 14 + … + 84
हल:
प्रथम पद,
a = 7
nवाँ पद,
aₙ = 84
सार्व अंतर,
d = 10.5 − 7 = 3.5 = 7/2
मान लीजिए कि 84 इस A.P. का nवाँ पद है।
हम जानते हैं,
aₙ = a + (n − 1)d
84 = 7 + (n − 1) × 7/2
77 = (n − 1) × 7/2
22 = n − 1
n = 23
अब,
Sₙ = n/2 (a + l)
जहाँ l = 84
S₂₃ = 23/2 (7 + 84)
= 23 × 91/2
= 2093/2
अतः, योग 2093/2 है।
(ii) 34 + 32 + 30 + … + 10
हल:
दी गई A.P. है:
34 + 32 + 30 + … + 10
प्रथम पद,
a = 34
सार्व अंतर,
d = a₂ − a₁
= 32 − 34
= −2
nवाँ पद,
aₙ = 10
मान लीजिए कि 10 इस A.P. का nवाँ पद है।
aₙ = a + (n − 1)d
10 = 34 + (n − 1)(−2)
−24 = (n − 1)(−2)
12 = n − 1
n = 13
अब,
Sₙ = n/2 (a + l)
जहाँ l = 10
S₁₃ = 13/2 (34 + 10)
= 13 × 44/2
= 13 × 22
= 286
अतः, योग 286 है।
(iii) −5 + (−8) + (−11) + … + (−230)
हल:
दी गई A.P. है:
−5 + (−8) + (−11) + … + (−230)
प्रथम पद,
a = −5
nवाँ पद,
aₙ = −230
सार्व अंतर,
d = a₂ − a₁
= (−8) − (−5)
= −8 + 5
= −3
मान लीजिए कि −230 इस A.P. का nवाँ पद है।
aₙ = a + (n − 1)d
−230 = −5 + (n − 1)(−3)
−225 = (n − 1)(−3)
n − 1 = 75
n = 76
अब,
Sₙ = n/2 (a + l)
= 76/2 [−5 + (−230)]
= 38(−235)
= −8930
अतः, योग −8930 है।
3. एक A.P. में:
(i) दिया गया है a = 5, d = 3, aₙ = 50। n और Sₙ ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया गया है,
a = 5, d = 3, aₙ = 50
हम जानते हैं,
aₙ = a + (n − 1)d
अतः,
50 = 5 + (n − 1) × 3
3(n − 1) = 45
n − 1 = 15
n = 16
अब,
Sₙ = n/2 (a + aₙ)
S₁₆ = 16/2 (5 + 50)
= 8 × 55
= 440
अतः, n = 16 और Sₙ = 440।
(ii) दिया गया है a = 7, a₁₃ = 35। d और S₁₃ ज्ञात कीजिए।
हल:
हम जानते हैं,
aₙ = a + (n − 1)d
अतः,
35 = 7 + (13 − 1)d
12d = 28
d = 28/12
= 7/3
अब,
S₁₃ = 13/2 (a + a₁₃)
= 13/2 (7 + 35)
= 13/2 × 42
= 273
अतः, d = 7/3 और S₁₃ = 273।
(iii) दिया गया है a₁₂ = 37, d = 3। a और S₁₂ ज्ञात कीजिए।
हल:
हम जानते हैं,
aₙ = a + (n − 1)d
अतः,
a₁₂ = a + (12 − 1)3
37 = a + 33
a = 4
अब,
S₁₂ = 12/2 (a + a₁₂)
= 6(4 + 37)
= 6 × 41
= 246
अतः, a = 4 और S₁₂ = 246।
(iv) दिया गया है a₃ = 15, S₁₀ = 125। d और a₁₀ ज्ञात कीजिए।
हल:
हम जानते हैं,
aₙ = a + (n − 1)d
इसलिए,
a₃ = a + (3 − 1)d
15 = a + 2d ………………… (i)
अब,
Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d]
S₁₀ = 10/2 [2a + (10 − 1)d]
125 = 5(2a + 9d)
25 = 2a + 9d ………………… (ii)
समीकरण (i) को 2 से गुणा करने पर,
30 = 2a + 4d ………………… (iii)
समीकरण (iii) को समीकरण (ii) से घटाने पर,
−5 = 5d
d = −1
समीकरण (i) से,
15 = a + 2(−1)
15 = a − 2
a = 17
अब,
a₁₀ = a + (10 − 1)d
= 17 + 9(−1)
= 17 − 9
= 8
अतः, d = −1 और a₁₀ = 8।
(v) दिया गया है d = 5, S₉ = 75। a और a₉ ज्ञात कीजिए।
हल:
A.P. के n पदों के योग का सूत्र है:
Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d]
अतः,
S₉ = 9/2 [2a + (9 − 1)5]
75 = 9/2 [2a + 40]
50/3 = 2a + 40
2a = 50/3 − 40
2a = −70/3
a = −35/3
अब,
a₉ = a + (9 − 1)d
= −35/3 + 8(5)
= −35/3 + 40
= (−35 + 120)/3
= 85/3
अतः, a = −35/3 और a₉ = 85/3।
(vi) दिया गया है a = 2, d = 8, Sₙ = 90। n और aₙ ज्ञात कीजिए।
हल:
हम जानते हैं,
Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d]
90 = n/2 [2(2) + (n − 1)8]
180 = n[4 + 8n − 8]
180 = n(8n − 4)
180 = 8n² − 4n
8n² − 4n − 180 = 0
2n² − n − 45 = 0
2n² − 10n + 9n − 45 = 0
2n(n − 5) + 9(n − 5) = 0
(n − 5)(2n + 9) = 0
अतः,
n = 5 या n = −9/2
चूँकि n एक धनात्मक पूर्णांक है,
n = 5
अब,
a₅ = a + (5 − 1)d
= 2 + 4(8)
= 34
अतः, n = 5 और a₅ = 34।
(vii) दिया गया है a = 8, aₙ = 62, Sₙ = 210। n और d ज्ञात कीजिए।
हल:
हम जानते हैं,
Sₙ = n/2 (a + aₙ)
210 = n/2 (8 + 62)
210 = 35n
n = 6
अब,
aₙ = a + (n − 1)d
62 = 8 + 5d
5d = 54
d = 54/5
अतः, n = 6 और d = 54/5।
(viii) दिया गया है aₙ = 4, d = 2, Sₙ = −14। n और a ज्ञात कीजिए।
हल:
हम जानते हैं,
aₙ = a + (n − 1)d
4 = a + (n − 1)2
4 = a + 2n − 2
a + 2n = 6
a = 6 − 2n ………………… (i)
अब,
Sₙ = n/2 (a + aₙ)
−14 = n/2 (a + 4)
−28 = n(a + 4)
समीकरण (i) से,
−28 = n(6 − 2n + 4)
−28 = n(10 − 2n)
−28 = 10n − 2n²
2n² − 10n − 28 = 0
n² − 5n − 14 = 0
n² − 7n + 2n − 14 = 0
n(n − 7) + 2(n − 7) = 0
(n − 7)(n + 2) = 0
अतः,
n = 7 या n = −2
लेकिन n ऋणात्मक नहीं हो सकता।
इसलिए,
n = 7
समीकरण (i) से,
a = 6 − 2(7)
= 6 − 14
= −8
अतः, n = 7 और a = −8।
(ix) दिया गया है a = 3, n = 8, S = 192। d ज्ञात कीजिए।
हल:
हम जानते हैं,
Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d]
192 = 8/2 [2 × 3 + (8 − 1)d]
192 = 4[6 + 7d]
48 = 6 + 7d
42 = 7d
d = 6
अतः, सार्व अंतर d = 6 है।
(x) दिया गया है l = 28, S = 144 और कुल 9 पद हैं। a ज्ञात कीजिए।
हल:
A.P. के n पदों के योग का सूत्र है:
Sₙ = n/2 (a + l)
144 = 9/2 (a + 28)
32 = a + 28
a = 4
अतः, प्रथम पद a = 4 है।
4. A.P. 9, 17, 25, … के कितने पद लिए जाएँ कि उनका योग 636 हो?
हल:
मान लीजिए कि A.P. 9, 17, 25, … के n पद हैं।
इस A.P. के लिए,
प्रथम पद,
a = 9
सार्व अंतर,
d = a₂ − a₁
= 17 − 9
= 8
हम जानते हैं,
Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d]
636 = n/2 [2 × 9 + (n − 1) × 8]
636 = n/2 [18 + 8n − 8]
636 = n/2 (8n + 10)
636 = n(4n + 5)
4n² + 5n − 636 = 0
4n² + 53n − 48n − 636 = 0
n(4n + 53) − 12(4n + 53) = 0
(4n + 53)(n − 12) = 0
अतः,
n = −53/4 या n = 12
चूँकि n ऋणात्मक या भिन्न नहीं हो सकता,
n = 12
अतः, 12 पद लिए जाएँगे।
5. एक A.P. का प्रथम पद 5, अंतिम पद 45 और योग 400 है। पदों की संख्या और सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया गया है,
प्रथम पद,
a = 5
अंतिम पद,
l = 45
A.P. का योग,
Sₙ = 400
हम जानते हैं,
Sₙ = n/2 (a + l)
400 = n/2 (5 + 45)
400 = n/2 × 50
400 = 25n
n = 16
अब,
l = a + (n − 1)d
45 = 5 + (16 − 1)d
40 = 15d
d = 40/15
= 8/3
अतः, पदों की संख्या 16 और सार्व अंतर 8/3 है।
6. एक A.P. का प्रथम और अंतिम पद क्रमशः 17 और 350 है। यदि सार्व अंतर 9 है, तो पदों की संख्या और उनका योग ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया गया है,
प्रथम पद,
a = 17
अंतिम पद,
l = 350
सार्व अंतर,
d = 9
मान लीजिए कि A.P. में n पद हैं।
अंतिम पद का सूत्र है:
l = a + (n − 1)d
350 = 17 + (n − 1)9
333 = (n − 1)9
n − 1 = 37
n = 38
अब,
Sₙ = n/2 (a + l)
S₃₈ = 38/2 (17 + 350)
= 19 × 367
= 6973
अतः, इस A.P. में 38 पद हैं और उनका योग 6973 है।
7. उस A.P. के प्रथम 22 पदों का योग ज्ञात कीजिए जिसमें d = 7 और 22वाँ पद 149 है।
हल:
दिया गया है,
सार्व अंतर,
d = 7
22वाँ पद,
a₂₂ = 149
प्रथम 22 पदों का योग,
S₂₂ = ?
nवें पद के सूत्र से,
aₙ = a + (n − 1)d
a₂₂ = a + (22 − 1)d
149 = a + 21 × 7
149 = a + 147
a = 2
अतः, प्रथम पद a = 2 है।
अब,
Sₙ = n/2 (a + aₙ)
S₂₂ = 22/2 (2 + 149)
= 11 × 151
= 1661
अतः, प्रथम 22 पदों का योग 1661 है।
8. उस A.P. के प्रथम 51 पदों का योग ज्ञात कीजिए जिसके दूसरे और तीसरे पद क्रमशः 14 और 18 हैं।
हल:
दिया गया है,
दूसरा पद,
a₂ = 14
तीसरा पद,
a₃ = 18
सार्व अंतर,
d = a₃ − a₂
= 18 − 14
= 4
अब,
a₂ = a + d
14 = a + 4
a = 10
अतः, प्रथम पद a = 10 है।
अब,
Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d]
S₅₁ = 51/2 [2 × 10 + (51 − 1)4]
= 51/2 [20 + 50 × 4]
= 51 × 220/2
= 51 × 110
= 5610
अतः, प्रथम 51 पदों का योग 5610 है।
9. यदि किसी A.P. के प्रथम 7 पदों का योग 49 और प्रथम 17 पदों का योग 289 है, तो प्रथम n पदों का योग ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया गया है,
S₇ = 49
S₁₇ = 289
हम जानते हैं,
Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d]
अतः,
S₇ = 7/2 [2a + (7 − 1)d]
49 = 7/2 [2a + 6d]
7 = a + 3d ………………… (i)
इसी प्रकार,
S₁₇ = 17/2 [2a + (17 − 1)d]
289 = 17/2 (2a + 16d)
17 = a + 8d ………………… (ii)
समीकरण (i) को समीकरण (ii) से घटाने पर,
5d = 10
d = 2
समीकरण (i) से,
a + 3(2) = 7
a + 6 = 7
a = 1
अब,
Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d]
= n/2 [2(1) + (n − 1)2]
= n/2 [2 + 2n − 2]
= n/2 (2n)
= n²
अतः, प्रथम n पदों का योग Sₙ = n² है।
10. सिद्ध कीजिए कि a₁, a₂, …, aₙ, … एक A.P. बनाते हैं, जहाँ aₙ निम्न प्रकार परिभाषित है।
(i) aₙ = 3 + 4n
हल:
a₁ = 3 + 4(1)
= 7
a₂ = 3 + 4(2)
= 3 + 8
= 11
a₃ = 3 + 4(3)
= 3 + 12
= 15
a₄ = 3 + 4(4)
= 3 + 16
= 19
हम देख सकते हैं कि पदों के बीच सार्व अंतर है:
a₂ − a₁ = 11 − 7 = 4
a₃ − a₂ = 15 − 11 = 4
a₄ − a₃ = 19 − 15 = 4
अतः, aₖ₊₁ − aₖ का मान हर बार समान है।
इसलिए, यह एक A.P. है जिसका सार्व अंतर 4 और प्रथम पद 7 है।
अब,
Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d]
S₁₅ = 15/2 [2(7) + (15 − 1) × 4]
= 15/2 [14 + 56]
= 15/2 × 70
= 15 × 35
= 525
अतः, प्रथम 15 पदों का योग 525 है।
(ii) aₙ = 9 − 5n
हल:
a₁ = 9 − 5 × 1
= 9 − 5
= 4
a₂ = 9 − 5 × 2
= 9 − 10
= −1
a₃ = 9 − 5 × 3
= 9 − 15
= −6
a₄ = 9 − 5 × 4
= 9 − 20
= −11
हम देख सकते हैं कि पदों के बीच सार्व अंतर है:
a₂ − a₁ = −1 − 4 = −5
a₃ − a₂ = −6 − (−1) = −5
a₄ − a₃ = −11 − (−6) = −5
अतः, aₖ₊₁ − aₖ का मान हर बार समान है।
इसलिए, यह एक A.P. है जिसका सार्व अंतर −5 और प्रथम पद 4 है।
अब,
Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d]
S₁₅ = 15/2 [2(4) + (15 − 1)(−5)]
= 15/2 [8 + 14(−5)]
= 15/2 [8 − 70]
= 15/2 (−62)
= 15(−31)
= −465
अतः, प्रथम 15 पदों का योग −465 है।
11. यदि किसी A.P. के प्रथम n पदों का योग 4n − n² है, तो प्रथम पद अर्थात S₁ क्या है? प्रथम दो पदों का योग क्या है? दूसरा पद क्या है? इसी प्रकार तीसरा, दसवाँ और nवाँ पद ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया गया है,
Sₙ = 4n − n²
प्रथम पद,
a = S₁
= 4(1) − (1)²
= 4 − 1
= 3
प्रथम दो पदों का योग,
S₂ = 4(2) − (2)²
= 8 − 4
= 4
दूसरा पद,
a₂ = S₂ − S₁
= 4 − 3
= 1
सार्व अंतर,
d = a₂ − a₁
= 1 − 3
= −2
अब,
aₙ = a + (n − 1)d
= 3 + (n − 1)(−2)
= 3 − 2n + 2
= 5 − 2n
इसलिए,
a₃ = 5 − 2(3)
= 5 − 6
= −1
a₁₀ = 5 − 2(10)
= 5 − 20
= −15
अतः, प्रथम दो पदों का योग 4, दूसरा पद 1, तीसरा पद −1, दसवाँ पद −15 और nवाँ पद 5 − 2n है।
12. 6 से विभाज्य प्रथम 40 धनात्मक पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए।
हल:
6 से विभाज्य धनात्मक पूर्णांक हैं:
6, 12, 18, 24, …
हम देख सकते हैं कि यह श्रेणी एक A.P. है जिसका प्रथम पद 6 और सार्व अंतर 6 है।
a = 6
d = 6
S₄₀ = ?
हम जानते हैं,
Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d]
अतः,
S₄₀ = 40/2 [2(6) + (40 − 1)6]
= 20[12 + 39 × 6]
= 20(12 + 234)
= 20 × 246
= 4920
अतः, प्रथम 40 धनात्मक पूर्णांकों का योग 4920 है।
13. 8 के प्रथम 15 गुणजों का योग ज्ञात कीजिए।
हल:
8 के गुणज हैं:
8, 16, 24, 32, …
यह श्रेणी एक A.P. है, जिसका प्रथम पद 8 और सार्व अंतर 8 है।
a = 8
d = 8
S₁₅ = ?
हम जानते हैं,
Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d]
S₁₅ = 15/2 [2(8) + (15 − 1)8]
= 15/2 [16 + 14 × 8]
= 15/2 [16 + 112]
= 15 × 128/2
= 15 × 64
= 960
अतः, 8 के प्रथम 15 गुणजों का योग 960 है।
14. 0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
हल:
0 और 50 के बीच की विषम संख्याएँ हैं:
1, 3, 5, 7, 9, …, 49
अतः, ये संख्याएँ एक A.P. के रूप में हैं।
इसलिए,
प्रथम पद,
a = 1
सार्व अंतर,
d = 2
अंतिम पद,
l = 49
अंतिम पद के सूत्र से,
l = a + (n − 1)d
49 = 1 + (n − 1)2
48 = 2(n − 1)
24 = n − 1
n = 25
अर्थात पदों की संख्या 25 है।
अब,
Sₙ = n/2 (a + l)
S₂₅ = 25/2 (1 + 49)
= 25 × 50/2
= 25 × 25
= 625
अतः, 0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं का योग 625 है।
15. एक निर्माण कार्य के अनुबंध में निश्चित तिथि के बाद काम पूरा होने में देरी के लिए जुर्माने का प्रावधान है। पहले दिन 200 रुपये, दूसरे दिन 250 रुपये, तीसरे दिन 300 रुपये आदि जुर्माना है। प्रत्येक अगले दिन का जुर्माना पिछले दिन से 50 रुपये अधिक है। यदि ठेकेदार ने काम पूरा करने में 30 दिन की देरी की, तो उसे कितना जुर्माना देना होगा?
हल:
हम देख सकते हैं कि दिए गए जुर्माने एक A.P. के रूप में हैं, जिसका प्रथम पद 200 और सार्व अंतर 50 है।
इसलिए,
a = 200
d = 50
यदि ठेकेदार ने काम पूरा करने में 30 दिनों की देरी की है, तो उसे देना होगा:
S₃₀
हम जानते हैं,
Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d]
अतः,
S₃₀ = 30/2 [2(200) + (30 − 1)50]
= 15[400 + 1450]
= 15(1850)
= 27750
अतः, ठेकेदार को 27,750 रुपये का जुर्माना देना होगा।
16. एक विद्यालय के छात्रों को उनकी शैक्षणिक उपलब्धियों के आधार पर सात नकद पुरस्कार देने के लिए 700 रुपये की राशि रखी गई है। यदि प्रत्येक पुरस्कार अपने पिछले पुरस्कार से 20 रुपये कम है, तो प्रत्येक पुरस्कार का मूल्य ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए कि प्रथम पुरस्कार का मूल्य P रुपये है।
दूसरे पुरस्कार का मूल्य = P − 20 रुपये
तीसरे पुरस्कार का मूल्य = P − 40 रुपये
हम देख सकते हैं कि इन पुरस्कारों के मूल्य एक A.P. के रूप में हैं, जिसका सार्व अंतर −20 और प्रथम पद P है।
अतः,
a = P
d = −20
दिया गया है,
S₇ = 700
हम जानते हैं,
Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d]
अतः,
7/2 [2a + (7 − 1)(−20)] = 700
7/2 [2a − 120] = 700
2a − 120 = 200
2a = 320
a = 160
इसलिए पुरस्कारों के मूल्य होंगे:
160 रुपये, 140 रुपये, 120 रुपये, 100 रुपये, 80 रुपये, 60 रुपये और 40 रुपये।
17. एक विद्यालय में छात्रों ने वायु प्रदूषण को कम करने के लिए विद्यालय के अंदर और आसपास पेड़ लगाने के बारे में सोचा। यह तय किया गया कि प्रत्येक कक्षा के प्रत्येक सेक्शन द्वारा लगाए जाने वाले पेड़ों की संख्या उस कक्षा के बराबर होगी जिसमें वे पढ़ते हैं। उदाहरण के लिए, कक्षा I का एक सेक्शन 1 पेड़, कक्षा II का एक सेक्शन 2 पेड़ और इसी प्रकार कक्षा XII तक पेड़ लगाएगा। प्रत्येक कक्षा के तीन सेक्शन हैं। छात्रों द्वारा कुल कितने पेड़ लगाए जाएँगे?
हल:
यह देखा जा सकता है कि छात्रों द्वारा लगाए जाने वाले पेड़ों की संख्या एक A.P. के रूप में है:
1, 2, 3, 4, 5, …, 12
प्रथम पद,
a = 1
सार्व अंतर,
d = 2 − 1 = 1
हम जानते हैं,
Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d]
अतः,
S₁₂ = 12/2 [2(1) + (12 − 1)(1)]
= 6[2 + 11]
= 6(13)
= 78
अतः, कक्षाओं के 1 सेक्शन द्वारा लगाए गए पेड़ों की संख्या 78 है।
प्रत्येक कक्षा के 3 सेक्शन हैं।
इसलिए,
3 × 78 = 234
अतः, छात्रों द्वारा कुल 234 पेड़ लगाए जाएँगे।
18. एक सर्पिल क्रमिक अर्धवृत्तों से बना है, जिनके केंद्र बारी-बारी से A और B पर हैं तथा A से केंद्र वाले अर्धवृत्त की त्रिज्या 0.5, 1.0 सेमी, 1.5 सेमी, 2.0 सेमी, ……… है, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। ऐसे तेरह क्रमिक अर्धवृत्तों से बने सर्पिल की कुल लंबाई क्या होगी? (π = 22/7 लें)
हल:
हम जानते हैं,
अर्धवृत्त की परिधि = πr
अतः,
P₁ = π(0.5) = π/2 सेमी
P₂ = π(1) = π सेमी
P₃ = π(1.5) = 3π/2 सेमी
जहाँ P₁, P₂ और P₃ अर्धवृत्तों की लंबाइयाँ हैं।
अतः हमें एक श्रेणी प्राप्त होती है:
π/2, π, 3π/2, 2π, ….
P₁ = π/2 सेमी
P₂ = π सेमी
सार्व अंतर,
d = P₂ − P₁
= π − π/2
= π/2
प्रथम पद = P₁ = a = π/2 सेमी
हम जानते हैं कि n पदों के योग का सूत्र है:
Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d]
अतः, 13 क्रमिक अर्धवृत्तों की लंबाई का योग:
S₁₃ = 13/2 [2(π/2) + (13 − 1)π/2]
= 13/2 [π + 6π]
= 13/2 (7π)
= 13/2 × 7 × 22/7
= 143 सेमी
अतः, सर्पिल की कुल लंबाई 143 सेमी है।
19. 200 लट्ठों को निम्नलिखित तरीके से रखा गया है: सबसे नीचे वाली पंक्ति में 20 लट्ठे, अगली पंक्ति में 19, उसके ऊपर वाली पंक्ति में 18 और इसी प्रकार आगे। 200 लट्ठों को कितनी पंक्तियों में रखा गया है और सबसे ऊपर वाली पंक्ति में कितने लट्ठे हैं?
हल:
हम देख सकते हैं कि प्रत्येक पंक्ति में लट्ठों की संख्या एक A.P. के रूप में है:
20, 19, 18, …
दी गई A.P. के लिए,
प्रथम पद, a = 20
सार्व अंतर,
d = a₂ − a₁
= 19 − 20
= −1
मान लीजिए कि कुल 200 लट्ठे n पंक्तियों में रखे गए हैं।
अतः,
Sₙ = 200
हम जानते हैं कि n पदों के योग का सूत्र है:
Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d]
200 = n/2 [2(20) + (n − 1)(−1)]
400 = n(40 − n + 1)
400 = n(41 − n)
400 = 41n − n²
n² − 41n + 400 = 0
n² − 16n − 25n + 400 = 0
n(n − 16) − 25(n − 16) = 0
(n − 16)(n − 25) = 0
अतः,
या तो n − 16 = 0
या n − 25 = 0
n = 16 या n = 25
अब nवें पद के सूत्र से,
aₙ = a + (n − 1)d
16वें पद के लिए,
a₁₆ = 20 + (16 − 1)(−1)
a₁₆ = 20 − 15
a₁₆ = 5
इसी प्रकार, 25वें पद के लिए:
a₂₅ = 20 + (25 − 1)(−1)
a₂₅ = 20 − 24
= −4
यह देखा जा सकता है कि 16वीं पंक्ति में 5 लट्ठे हैं, क्योंकि लट्ठों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती।
अतः, 200 लट्ठों को 16 पंक्तियों में रखा जा सकता है और 16वीं पंक्ति में 5 लट्ठे हैं।
20. एक आलू दौड़ में, शुरुआती बिंदु पर एक बाल्टी रखी गई है, जो पहले आलू से 5 मीटर दूर है और अन्य आलू एक सीधी रेखा में एक-दूसरे से 3 मीटर की दूरी पर रखे गए हैं। रेखा में दस आलू हैं।
एक प्रतियोगी बाल्टी से शुरू करती है, सबसे पास वाला आलू उठाती है, उसे लेकर वापस दौड़ती है और बाल्टी में डाल देती है। फिर वह अगले आलू को लेने के लिए वापस दौड़ती है और उसे बाल्टी में डालने के लिए फिर से बाल्टी तक आती है। वह इसी प्रकार तब तक करती रहती है जब तक सभी आलू बाल्टी में नहीं आ जाते। प्रतियोगी को कुल कितनी दूरी दौड़नी होगी?
[संकेत: पहले आलू और दूसरे आलू को उठाने के लिए प्रतियोगी द्वारा तय की गई कुल दूरी (मीटर में) 2 × 5 + 2 × (5 + 3) है।]
हल:
बाल्टी से आलुओं की दूरियाँ हैं:
5, 8, 11, 14, …
जो एक A.P. के रूप में हैं।
प्रतियोगी द्वारा इन आलुओं को इकट्ठा करने के लिए तय की गई दूरी, आलुओं की बाल्टी से दूरी की दो गुनी है।
अतः आलुओं की दूरियों के अनुसार तय की जाने वाली दूरी इस प्रकार लिखी जा सकती है:
10, 16, 22, 28, 34, ……….
अतः,
प्रथम पद, a = 10
सार्व अंतर,
d = 16 − 10 = 6
S₁₀ = ?
हम जानते हैं कि n पदों के योग का सूत्र है:
Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d]
अतः,
S₁₀ = 10/2 [2(10) + (10 − 1)(6)]
= 5[20 + 54]
= 5(74)
= 370 मीटर
अतः, प्रतियोगी को कुल 370 मीटर की दूरी दौड़नी होगी।
कक्षा 10 गणित परीक्षा में बेहतर अंक कैसे प्राप्त करें?
गणित में अच्छे अंक प्राप्त करने के लिए स्पष्ट अवधारणाओं, नियमित अभ्यास और सटीकता पर ध्यान देने की आवश्यकता होती है। बेहतर स्कोर करने के लिए आपको:
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मजबूत अवधारणाएँ बनाएँ: गणित में चरणों को रटने के बजाय अवधारणाओं को समझने पर ध्यान दें, क्योंकि इससे अनुप्रयोग-आधारित प्रश्नों को हल करने में मदद मिलती है।
-
कमजोर क्षेत्रों पर काम करें: पाठ्यक्रम के कठिन विषयों को छोड़ने के बजाय उन पर ध्यान केंद्रित करें ताकि परीक्षा में अंक न कटें।
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सूत्रों का दैनिक दोहराव करें: महत्वपूर्ण सूत्रों का नियमित दोहराव गणना की गलतियों से बचने में मदद करता है।
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नियमित अभ्यास करें: अपनी नींव को मजबूत करने और सटीकता में सुधार के लिए NCERT के सभी प्रश्नों को कई बार हल करें।
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पिछले वर्षों के प्रश्न पत्र हल करें: PYQs (पिछले वर्ष के प्रश्न) का अभ्यास करने से आपको प्रश्न पैटर्न और महत्वपूर्ण विषयों को समझने में मदद मिलती है।
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