Class 10 Maths Chapter 6 Exercise 6.2 NCERT Solutions के साथ आसान रिवीज

Class 10 Maths Chapter 6:निर्देशांक ज्यामिति Exercise 6.2 के NCERT Solutions में सेक्शन फॉर्मूला को आसान भाषा में समझाया गया है। इस प्रश्नावली में आप सीखते हैं कि किसी रेखाखंड को दिए गए अनुपात में बाँटने वाले बिंदु के निर्देशांक कैसे निकाले जाते हैं। यह विषय CBSE पाठ्यक्रम के हिसाब से बहुत जरूरी है l 

इन सॉल्यूशंस को स्टेप-बाय-स्टेप तरीके से समझाया गया है, जिससे फॉर्मूला लगाना और सवाल हल करना आसान हो जाता है। हर दिन अभ्यास करने से आपकी समझ मजबूत होती है और निर्देशांक ज्यामिति में पकड़ बेहतर बनती है।

Class 10 Maths Chapter 6 Exercise 6.2 NCERT Solutions यहां देखें 

1.उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो (-1, 7) और (4, -3) को जोड़ने वाली रेखा को 2:3 के अनुपात में विभाजित करता है।

हल : 

मान लीजिए P(x, y) आवश्यक बिंदु है।

सेक्शन फॉर्मूला का उपयोग करते हुए,

अतः, बिंदु (1, 3) है।

2.उस रेखाखंड के त्रिभाजन बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो (4, -1) और (-2, -3) को जोड़ता है।

हल :

3.खेल दिवस (Sports Day) की गतिविधियों के लिए, आपके आयताकार आकार के स्कूल मैदान ABCD में हर 1 मीटर की दूरी पर चॉक पाउडर से रेखाएँ खींची गई हैं। AD के साथ 1 मीटर की दूरी पर 100 गमले एक-दूसरे से रखे गए हैं, जैसा कि निम्न आकृति में दिखाया गया है। निहारिका AD की दूरी का 1/4 भाग दूसरी रेखा पर दौड़ती है और एक हरा झंडा लगाती है। प्रीत AD की दूरी का 1/5 भाग आठवीं रेखा पर दौड़ती है और एक लाल झंडा लगाती है। दोनों झंडों के बीच की दूरी क्या है? यदि रश्मि को दोनों झंडों को जोड़ने वाले रेखाखंड के ठीक बीच में एक नीला झंडा लगाना हो, तो उसे अपना झंडा कहाँ लगाना चाहिए?

हल :

4.उस अनुपात को ज्ञात कीजिए जिसमें बिंदु (-3, 10) और (6, -8) को जोड़ने वाली रेखाखंड को बिंदु (-1, 6) विभाजित करता है।

हल : मान लीजिए अनुपात k:1 है, जिसमें बिंदु (-3, 10) और (6, -8) को जोड़ने वाले रेखाखंड को बिंदु (-1, 6) विभाजित करता है।

अतः,
-1 = (6k − 3) / (k + 1)
⇒ -k − 1 = 6k − 3
⇒ 7k = 2
⇒ k = 2/7

अतः, अभीष्ट अनुपात 2:7 है।

5. उस अनुपात को ज्ञात कीजिए जिसमें बिंदु A(1, -5) और B(-4, 5) को जोड़ने वाली रेखाखंड को x-अक्ष विभाजित करता है। साथ ही, विभाजन बिंदु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।

हल :

मान लीजिए कि बिंदु A(1, -5) और B(-4, 5) को जोड़ने वाली रेखाखंड को x-अक्ष k:1 के अनुपात में विभाजित करता है।

अतः, विभाजन बिंदु के निर्देशांक होंगे:
(-4k + 1)/(k + 1), (5k − 5)/(k + 1)

हम जानते हैं कि x-अक्ष पर किसी भी बिंदु का y-निर्देशांक 0 होता है।

∴ (5k − 5)/(k + 1) = 0

अतः, x-अक्ष इसे 1:1 के अनुपात में विभाजित करता है।

अब k का मान समीकरण (1) में रखने पर:

आवश्यक बिंदु = [(-4(1) + 1)/(1 + 1), (5(1) − 5)/(1 + 1)]

= [(-4 + 1)/2, (5 − 5)/2]

= [-3/2, 0]

6.यदि (1, 2), (4, y), (x, 6) और (3, 5) क्रमशः एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हों, तो x और y का मान ज्ञात कीजिए।

हल : मान लीजिए A, B, C और D क्रमशः बिंदु (1,2), (4,y), (x,6) और (3,5) हैं।

7.बिंदु A के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जहाँ AB एक वृत्त का व्यास है जिसका केंद्र (2, -3) है और B (1, 4) है।

हल :

मान लीजिए A के निर्देशांक (x, y) हैं। चूँकि AB वृत्त का व्यास है, इसलिए इसका केंद्र AB का मध्यबिंदु होगा।

अब, केंद्र AB का मध्यबिंदु है, इसलिए
केंद्र का x-निर्देशांक = (x + 1)/2
केंद्र का y-निर्देशांक = (y + 4)/2

लेकिन दिया गया है कि वृत्त का केंद्र (2, -3) है।

अतः,
(x + 1)/2 = 2 ⇒ x = 3
(y + 4)/2 = -3 ⇒ y = -10

इसलिए, बिंदु A के निर्देशांक (3, -10) हैं।

8. यदि A और B क्रमशः (–2, –2) और (2, –4) हैं, तो बिंदु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जहाँ AP = (3/7) AB है और P रेखाखंड AB पर स्थित है।

हल : 

दिए गए हैं A(−2, −2) और B(2, −4), तथा P बिंदु AB पर स्थित है और
AP = (3/7) AB

∴ BP = (4/7) AB

अतः AP : PB = 3 : 4

मान लीजिए P के निर्देशांक (x, y) हैं।

∴ x = (m₁x₂ + m₂x₁) / (m₁ + m₂)

⇒ x = (3 × 2 + 4 × (−2)) / (3 + 4)
= (6 − 8) / 7
= −2/7

और

y = (m₁y₂ + m₂y₁) / (m₁ + m₂)

⇒ y = (3 × (−4) + 4 × (−2)) / (3 + 4)
= (−12 − 8) / 7
= −20/7

अतः, P के निर्देशांक (−2/7, −20/7) हैं।

9. बिंदु A(-2, 2) और B(2, 8) को जोड़ने वाली रेखाखंड को चार बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

हल :

चित्र से यह देखा जा सकता है कि बिंदु X, Y और Z रेखाखंड को क्रमशः 1:3, 1:1 और 3:1 के अनुपात में विभाजित कर रहे हैं।

सेक्शन फॉर्मूला का उपयोग करते हुए, हमें मिलता है:

X के निर्देशांक = ((1 × 2 + 3 × (−2)) / (1 + 3), (1 × 8 + 3 × 2) / (1 + 3))
= (−1, 7/2)

Y के निर्देशांक = ((2 − 2) / 2, (2 + 8) / 2)
= (0, 5)

Z के निर्देशांक = ((3 × 2 + 1 × (−2)) / (1 + 3), (3 × 8 + 1 × 2) / (1 + 3))
= (1, 13/2)

10 .यदि किसी समचतुर्भुज (Rhombus) के शीर्ष (3, 0), (4, 5), (−1, 4) और (−2, −1) क्रमशः दिए गए हों, तो उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
[संकेत: समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = 1/2 × उसके विकर्णों का गुणनफल]

हल : 

मान लीजिए शीर्ष A(3, 0), B(4, 5), C(−1, 4) और D(−2, −1) हैं।

समचतुर्भुज के विकर्ण AC और BD होंगे।

विकर्ण AC:

A(3, 0) और C(−1, 4) के बीच दूरी
= √[(−1 − 3)² + (4 − 0)²]
= √[16 + 16]
= √32 = 4√2

विकर्ण BD:

B(4, 5) और D(−2, −1) के बीच दूरी
= √[(−2 − 4)² + (−1 − 5)²]
= √[36 + 36]
= √72 = 6√2

क्षेत्रफल:

= 1/2 × (AC × BD)
= 1/2 × (4√2 × 6√2)
= 1/2 × (24 × 2)
= 1/2 × 48
= 24

अतः, समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = 24 वर्ग इकाई।

Class 10 Maths की तैयारी कैसे करें ? 

Class 10 Maths की तैयारी जरूरी है क्योंकि यह परीक्षा में अच्छे अंक लाने में मदद करती है, गणितीय सोच को मजबूत करती है और आगे की पढ़ाई के लिए आधार बनाती है। हर दिन के अभ्यास से आत्मविश्वास बढ़ता है और कठिन सवाल भी आसान लगने लगते हैं।

• NCERT को प्राथमिकता दें – हर chapter और exercise को ध्यान से समझकर हल करें, क्योंकि बोर्ड परीक्षा के सवाल वहीं से आते हैं।

• रोज़ प्रैक्टिस करें – गणित में सुधार के लिए रोज़ कम से कम 1से 2 घंटे सवाल हल करना जरूरी है।

• फॉर्मूले याद करें और समझें – सिर्फ रटने के बजाय यह समझें कि फॉर्मूला कब और कैसे उपयोग होता है।

• पिछले साल के पेपर हल करें – इससे परीक्षा पैटर्न और महत्वपूर्ण सवालों का अंदाजा लगता है।

• टाइम मैनेजमेंट सीखें – एक सवाल को तय समय में हल करने की आदत डालें ताकि परीक्षा में समय न कम पड़े।

• रिवीजन जरूर करें – हर अध्याय को बार-बार दोहराएं ताकि कॉन्सेप्ट लंबे समय तक याद रहें।

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