कक्षा 10 गणित: अध्याय 6 (त्रिभुज) प्रश्नावली 6.3 के संपूर्ण NCERT Solution

कक्षा 10 गणित अध्याय 6 त्रिभुज प्रश्नावली 6.3 के NCERT Solutions में विद्यार्थियों को समरूप त्रिभुजों की विभिन्न कसौटियों और उनके अनुप्रयोगों को समझने में मदद मिलती है। इस प्रश्नावली में AAA, SSS और SAS समरूपता मानदंड, समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाओं के अनुपात तथा विभिन्न ज्यामितीय समस्याओं को हल करने से जुड़े प्रश्न शामिल हैं। यहाँ सभी प्रश्नों के सरल और चरण-दर-चरण समाधान दिए गए हैं, ताकि विद्यार्थी अवधारणाओं को आसानी से समझकर बोर्ड परीक्षा की तैयारी बेहतर तरीके से कर सकें।

कक्षा 10 गणित अध्याय 6 प्रश्नावली 6.3 के लिए NCERT Solution

कक्षा 10 गणित अध्याय 6 प्रश्नावली 6.3 में त्रिभुजों की समरूपता (Similarity of Triangles) से जुड़े प्रश्नों के चरण-दर-चरण NCERT Solutions दिए गए हैं, जिससे विद्यार्थी समरूपता की विभिन्न कसौटियों और उनके अनुप्रयोगों को आसानी से समझ सकते हैं।

1.आकृति में दिए गए त्रिभुजों के कौन-कौन से युग्म समरूप हैं, बताइए। प्रश्न का उत्तर देने के लिए आपके द्वारा उपयोग किए गए समरूपता मानदंड को लिखिए और समरूप त्रिभुजों के युग्मों को प्रतीकात्मक रूप में भी लिखिए:

हल:

(i) दिया गया है, ΔABC और ΔPQR में,

∠A = ∠P = 60°
∠B = ∠Q = 80°
∠C = ∠R = 40°

अतः, AAA समरूपता मानदंड के अनुसार,

∴ ΔABC ~ ΔPQR

(ii) दिया गया है, ΔABC और ΔPQR में,

AB/QR = 2/4 = 1/2,

BC/RP = 2.5/5 = 1/2

CA/PA = 3/6 = 1/2

अतः, SSS समरूपता मानदंड के अनुसार,

ΔABC ~ ΔQRP

(iii) दिया गया है, ΔLMP और ΔDEF में,

LM = 2.7

MP = 2,

LP = 3

EF = 5

DE = 4

DF = 6

MP/DE = 2/4 = 1/2

PL/DF = 3/6 = 1/2

LM/EF = 2.7/5 = 27/50

यहाँ,

MP/DE = PL/DF ≠ LM/EF

अतः, ΔLMP और ΔDEF समरूप नहीं हैं।

(iv) ΔMNL और ΔQPR में दिया गया है,

MN/QP = ML/QR = 1/2

∠M = ∠Q = 70°

अतः, SAS समरूपता मानदंड के अनुसार,

∴ ΔMNL ~ ΔQPR

(v) ΔABC और ΔDEF में दिया गया है,

AB = 2.5

BC = 3

∠A = 80°

EF = 6

DF = 5

∠F = 80°

यहाँ,

AB/DF = 2.5/5 = 1/2

और,

BC/EF = 3/6 = 1/2

⇒ ∠B ≠ ∠F

अतः, ΔABC और ΔDEF समरूप नहीं हैं।

(vi) ΔDEF में, त्रिभुज के कोणों के योग के अनुसार,

∠D + ∠E + ∠F = 180°

⇒ 70° + 80° + ∠F = 180°

⇒ ∠F = 180° – 70° – 80°

⇒ ∠F = 30°

इसी प्रकार, ΔPQR में,

∠P + ∠Q + ∠R = 180°

⇒ ∠P + 80° + 30° = 180°

⇒ ∠P = 180° – 80° – 30°

⇒ ∠P = 70°

अब दोनों त्रिभुजों ΔDEF और ΔPQR की तुलना करने पर,

∠D = ∠P = 70°

∠E = ∠Q = 80°

∠F = ∠R = 30°

अतः, AAA समरूपता मानदंड के अनुसार,

ΔDEF ~ ΔPQR

2. आकृति 6.35 में, ΔODC ~ ΔOBA, ∠BOC = 125° और ∠CDO = 70° है। ∠DOC, ∠DCO और ∠OAB ज्ञात कीजिए।

हल:

जैसा कि आकृति से स्पष्ट है, DOB एक सरल रेखा है।

अतः,

∠DOC + ∠COB = 180°

⇒ ∠DOC = 180° – 125°

⇒ ∠DOC = 55°

अब ΔDOC में, त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है।

अतः,

∠DCO + ∠CDO + ∠DOC = 180°

⇒ ∠DCO + 70° + 55° = 180°

⇒ ∠DCO = 55°

दिया गया है कि,

ΔODC ~ ΔOBA

समरूप त्रिभुजों के संगत कोण बराबर होते हैं।

अतः,

∠OAB = ∠OCD

⇒ ∠OAB = 55°

इसलिए,

∠DOC = 55°, ∠DCO = 55° और ∠OAB = 55°

3. समलंब ABCD के विकर्ण AC और BD एक-दूसरे को O बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं तथा AB || DC है। दो त्रिभुजों के समरूपता मानदंड का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि AO/OC = OB/OD

हल:

ΔDOC और ΔBOA में, AB || CD है। इसलिए, एकांतर अंतः कोण बराबर होंगे।

∴ ∠CDO = ∠ABO

इसी प्रकार,

∠DCO = ∠BAO

साथ ही, दोनों त्रिभुजों ΔDOC और ΔBOA में शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं।

∴ ∠DOC = ∠BOA

अतः, AAA समरूपता मानदंड के अनुसार,

ΔDOC ~ ΔBOA

इसलिए, संगत भुजाएँ समान अनुपात में होंगी।

DO/BO = OC/OA

⇒ OA/OC = OB/OD

अतः, सिद्ध हुआ।

4. आकृति 6.36 में, QR/QS = QT/PR और ∠1 = ∠2 है। सिद्ध कीजिए कि ΔPQS ~ ΔTQR।

हल:

ΔPQR में,

∠PQR = ∠PRQ

अतः,

PQ = PR ……………………… (i)

दिया गया है,

QR/QS = QT/PR

समीकरण (i) का प्रयोग करने पर,

QR/QS = QT/QP ………………. (ii)

अब ΔPQS और ΔTQR में,

QR/QS = QT/QP

और,

∠Q = ∠Q

अतः, SAS समरूपता मानदंड के अनुसार,

ΔPQS ~ ΔTQR

5. S और T, ΔPQR की भुजाओं PR और QR पर स्थित बिंदु हैं, जहाँ ∠P = ∠RTS है। सिद्ध कीजिए कि ΔRPQ ~ ΔRTS।

हल:

दिया गया है कि S और T, ΔPQR की भुजाओं PR और QR पर स्थित बिंदु हैं तथा ∠P = ∠RTS।

ΔRPQ और ΔRTS में,

∠RTS = ∠QPS [दिया गया है]

और,

∠R = ∠R [उभयनिष्ठ कोण]

अतः, AA समरूपता मानदंड के अनुसार,

ΔRPQ ~ ΔRTS

6. आकृति में, यदि ΔABE ≅ ΔACD है, तो सिद्ध कीजिए कि ΔADE ~ ΔABC। 

हल:

दिया गया है,

ΔABE ≅ ΔACD

अतः,

AB = AC [CPCT] ………………………………. (i)

और,

AD = AE [CPCT] …………………………… (ii)

ΔADE और ΔABC में, समीकरण (ii) को समीकरण (i) से विभाजित करने पर,

AD/AB = AE/AC

और,

∠A = ∠A [उभयनिष्ठ कोण]

अतः, SAS समरूपता मानदंड के अनुसार,

ΔADE ~ ΔABC

7. आकृति में, ΔABC की ऊँचाइयाँ AD और CE एक-दूसरे को P बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि:

(i) ΔAEP ~ ΔCDP

हल:

ΔAEP और ΔCDP में,

∠AEP = ∠CDP = 90°

और,

∠APE = ∠CPD [शीर्षाभिमुख कोण]

अतः, AA समरूपता मानदंड के अनुसार,

ΔAEP ~ ΔCDP

(ii) ΔABD ~ ΔCBE

ΔABD और ΔCBE में,

∠ADB = ∠CEB = 90°

और,

∠ABD = ∠CBE [उभयनिष्ठ कोण]

अतः, AA समरूपता मानदंड के अनुसार,

ΔABD ~ ΔCBE

(iii) ΔAEP ~ ΔADB

ΔAEP और ΔADB में,

∠AEP = ∠ADB = 90°

और,

∠PAE = ∠DAB [उभयनिष्ठ कोण]

अतः, AA समरूपता मानदंड के अनुसार,

ΔAEP ~ ΔADB

(iv) ΔPDC ~ ΔBEC

ΔPDC और ΔBEC में,

∠PDC = ∠BEC = 90°

और,

∠PCD = ∠BCE [उभयनिष्ठ कोण]

अतः, AA समरूपता मानदंड के अनुसार,

ΔPDC ~ ΔBEC

8. E, समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजा AD के बढ़े हुए भाग पर एक बिंदु है और BE, CD को F बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि ΔABE ~ ΔCFB।

हल:

दिया गया है कि E, समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजा AD के बढ़े हुए भाग पर स्थित है और BE, CD को F पर प्रतिच्छेद करती है।

ΔABE और ΔCFB में,

∠A = ∠C [समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण]

और,

∠AEB = ∠CBF [AE || BC होने के कारण एकांतर अंतः कोण]

अतः, AA समरूपता मानदंड के अनुसार,

ΔABE ~ ΔCFB

9. आकृति में, ABC और AMP दो समकोण त्रिभुज हैं, जिनमें क्रमशः B और M पर समकोण है। सिद्ध कीजिए कि:

(i) ΔABC ~ ΔAMP

हल:

दिया गया है कि ABC और AMP दो समकोण त्रिभुज हैं, जिनमें क्रमशः B और M पर समकोण है।

ΔABC और ΔAMP में,

∠CAB = ∠MAP [उभयनिष्ठ कोण]

और,

∠ABC = ∠AMP = 90°

अतः, AA समरूपता मानदंड के अनुसार,

ΔABC ~ ΔAMP

(ii) CA/PA = BC/MP

चूँकि,

ΔABC ~ ΔAMP

समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समान अनुपात में होती हैं।

अतः,

CA/PA = BC/MP

10. CD और GH क्रमशः ∠ACB और ∠EGF के समद्विभाजक हैं, जहाँ D और H क्रमशः ΔABC और ΔEFG की भुजाओं AB और FE पर स्थित हैं। यदि ΔABC ~ ΔFEG है, तो सिद्ध कीजिए कि:

(i) CD/GH = AC/FG
(ii) ΔDCB ~ ΔHGE
(iii) ΔDCA ~ ΔHGF

समाधान:

दिया गया है कि CD और GH क्रमशः ∠ACB और ∠EGF के समद्विभाजक हैं, इस प्रकार D और H क्रमशः ΔABC और ΔEFG की भुजाओं AB और FE पर स्थित हैं। 

(i) CD/GH = AC/FG

हल:

दिया गया है,

ΔABC ~ ΔFEG

अतः,

∠A = ∠F, ∠B = ∠E और ∠ACB = ∠FGE

चूँकि,

∠ACB = ∠FGE

और CD तथा GH कोणों के समद्विभाजक हैं,

∴ ∠ACD = ∠FGH

और,

∠DCB = ∠HGE

अब ΔACD और ΔFGH में,

∠A = ∠F

और,

∠ACD = ∠FGH

अतः, AA समरूपता मानदंड के अनुसार,

ΔACD ~ ΔFGH

अतः,

CD/GH = AC/FG

(ii) ΔDCB ~ ΔHGE

ΔDCB और ΔHGE में,

∠DCB = ∠HGE

और,

∠B = ∠E

अतः, AA समरूपता मानदंड के अनुसार,

ΔDCB ~ ΔHGE

(iii) ΔDCA ~ ΔHGF

ΔDCA और ΔHGF में,

∠ACD = ∠FGH

और,

∠A = ∠F

अतः, AA समरूपता मानदंड के अनुसार,

ΔDCA ~ ΔHGF

11. निम्नलिखित आकृति में, E समद्विबाहु त्रिभुज ABC की भुजा CB के बढ़े हुए भाग पर एक बिंदु है तथा AB = AC है। यदि AD ⊥ BC और EF ⊥ AC है, तो सिद्ध कीजिए कि ΔABD ~ ΔECF।

हल:

दिया गया है कि ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

∴ AB = AC

⇒ ∠ABD = ∠ECF

ΔABD और ΔECF में,

∠ADB = ∠EFC = 90°

और,

∠BAD = ∠CEF

अतः, AA समरूपता मानदंड के अनुसार,

ΔABD ~ ΔECF

12. त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AD क्रमशः त्रिभुज PQR की भुजाओं PQ और QR तथा माध्यिका PM के समानुपाती हैं। सिद्ध कीजिए कि ΔABC ~ ΔPQR।

हल:

दिया गया है कि ΔABC और ΔPQR में,

AB/PQ = BC/QR = AD/PM

हमें सिद्ध करना है:

ΔABC ~ ΔPQR

क्योंकि,

AB/PQ = BC/QR = AD/PM

और D, BC का मध्यबिंदु तथा M, QR का मध्यबिंदु है।

अतः,

BD = BC/2

और,

QM = QR/2

इसलिए,

AB/PQ = BD/QM

अब ΔABD और ΔPQM में,

AB/PQ = BD/QM

और,

∠ABD = ∠PQM

अतः, SAS समरूपता मानदंड के अनुसार,

ΔABD ~ ΔPQM

इसलिए,

∠ABD = ∠PQM

अर्थात,

∠ABC = ∠PQR

अब ΔABC और ΔPQR में,

AB/PQ = BC/QR

और,

∠ABC = ∠PQR

अतः, SAS समरूपता मानदंड के अनुसार,

ΔABC ~ ΔPQR

13. D, त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिंदु है, जहाँ ∠ADC = ∠BAC है। सिद्ध कीजिए कि CA² = CB.CD

हल:

दिया गया है कि D, त्रिभुज ABC की भुजा BC पर स्थित है और,

∠ADC = ∠BAC

ΔADC और ΔBAC में,

∠ADC = ∠BAC [दिया गया है]

और,

∠ACD = ∠BCA [उभयनिष्ठ कोण]

अतः, AA समरूपता मानदंड के अनुसार,

ΔADC ~ ΔBAC

समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समान अनुपात में होती हैं।

अतः,

CA/CB = CD/CA

⇒ CA² = CB.CD

अतः, सिद्ध हुआ।

14. त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB और AC तथा माध्यिका AD क्रमशः दूसरे त्रिभुज PQR की भुजाओं PQ और PR तथा माध्यिका PM के समानुपाती हैं। सिद्ध कीजिए कि ΔABC ~ ΔPQR।

समाधान:

दिया गया है: दो त्रिभुज ΔABC और ΔPQR हैं, जिनमें AD और PM माध्यिकाएँ हैं, इस प्रकार;

AB/PQ = AC/PR = AD/PM

हमें सिद्ध करना है कि, ΔABC ~ ΔPQR

पहले हम रचना करते हैं: AD को E तक इस प्रकार बढ़ाएँ कि AD = DE हो।

CE को मिलाएँ। इसी प्रकार, PM को N तक इस प्रकार बढ़ाएँ कि PM = MN हो, और RN को भी मिलाएँ।

कक्षा 10 गणित की परीक्षा में बेहतर अंक कैसे प्राप्त करें?

कक्षा 10 गणित में अच्छे अंक प्राप्त करने के लिए अवधारणाओं की स्पष्ट समझ, नियमित अभ्यास और सटीकता व उत्तर लिखने के तरीके पर ध्यान देना आवश्यक है। बेहतर अंक प्राप्त करने के लिए आपको:

• अवधारणाओं को मजबूत करें:

कक्षा 10 गणित में चरणों को याद करने के बजाय अवधारणाओं को समझने पर ध्यान दें, क्योंकि इससे अनुप्रयोग-आधारित प्रश्नों को हल करने में मदद मिलती है।

• कमजोर क्षेत्रों पर काम करें:

अंक खोने से बचने के लिए कक्षा 10 गणित के पाठ्यक्रम में कठिन विषयों पर ध्यान दें और उन्हें छोड़ने से बचें।

• सूत्रों का दैनिक अभ्यास करें:

PW Class 10 Maths MIQs का नियमित रूप से दोहराव करने से परीक्षा में गणना संबंधी गलतियों से बचने में मदद मिलती है।

• नियमित रूप से अभ्यास करें:

कक्षा 10 के सभी CBSE NCERT प्रश्नों को कई बार हल करें, ताकि अपनी मूल अवधारणाओं को मजबूत किया जा सके और सटीकता में सुधार हो सके।

• पिछले वर्ष के प्रश्नपत्र हल करें:

CBSE कक्षा 10 गणित के पिछले वर्ष के प्रश्नों (PYQs) का अभ्यास करने से आपको प्रश्नों के पैटर्न और महत्वपूर्ण विषयों को समझने में मदद मिलती है।

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