कक्षा 10 गणित अध्याय 7 त्रिभुज प्रश्नावली 7.2 NCERT Solution
Ekta Rakesh Singh18 Aug, 2026
कक्षा 10 गणित अध्याय 7 प्रश्नावली 7.2 के लिए NCERT Solution त्रिभुजों की समरूपता की कसौटियों पर केंद्रित हैं, जिनमें AA (कोण-कोण), SAS (भुजा-कोण-भुजा), और SSS (भुजा-भुजा-भुजा) शामिल हैं। ये शर्तें व्यक्तिगत रूप से सभी भुजाओं और कोणों की तुलना किए बिना यह निर्धारित करने में मदद करती हैं कि दो त्रिभुज कब समरूप हैं, जो इस विषय को CBSE कक्षा 10 के पाठ्यक्रम का एक अनिवार्य हिस्सा बनाता है।
इन NCERT Solutions को चरण-दर-चरण समझाया गया है, जिससे यह समझना आसान हो जाता है कि प्रत्येक कसौटी को विभिन्न समस्याओं में कैसे लागू किया जाता है। इस प्रश्नावली का अभ्यास करने से तार्किक तर्क (logical reasoning) मजबूत होता है और आपको परीक्षाओं में ज्यामिति के प्रमाणों (geometry proofs) को आत्मविश्वास के साथ हल करने में मदद मिलेगी।
NCERT Solutions कक्षा 10 गणित अध्याय 7 प्रश्नावली 7.2
1. आकृति (i) और (ii) में, DE || BC है। (i) में EC और (ii) में AD ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) दिया गया है, △ABC में DE || BC
∴ AD/DB = AE/EC [आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय का प्रयोग करने पर]
⇒ 1.5/3 = 1/EC
⇒ EC = 3/1.5
EC = 3 × 10/15 = 2 सेमी
अतः, EC = 2 सेमी।
(ii) दिया गया है, △ABC में DE || BC
∴ AD/DB = AE/EC [आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय का प्रयोग करने पर]
⇒ AD/7.2 = 1.8/5.4
⇒ AD = 1.8 × 7.2/5.4
= (18/10) × (72/10) × (10/54)
= 24/10
⇒ AD = 2.4
अतः, AD = 2.4 सेमी।
2. E और F, ΔPQR की भुजाओं PQ और PR पर स्थित बिंदु हैं। निम्नलिखित प्रत्येक स्थिति के लिए बताइए कि क्या EF || QR है।
(i) PE = 3.9 सेमी, EQ = 3 सेमी, PF = 3.6 सेमी और FR = 2.4 सेमी
(ii) PE = 4 सेमी, QE = 4.5 सेमी, PF = 8 सेमी और RF = 9 सेमी
(iii) PQ = 1.28 सेमी, PR = 2.56 सेमी, PE = 0.18 सेमी और PF = 0.63 सेमी
हल:
दिया गया है, ΔPQR में E और F क्रमशः भुजा PQ और PR पर स्थित दो बिंदु हैं। नीचे दी गई आकृति देखें।
(i) दिया गया है,
PE = 3.9 सेमी, EQ = 3 सेमी, PF = 3.6 सेमी और FR = 2.4 सेमी
अतः, आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय का प्रयोग करने पर,
PE/EQ = 3.9/3
= 39/30
= 13/10
= 1.3
और,
PF/FR = 3.6/2.4
= 36/24
= 3/2
= 1.5
अतः,
PE/EQ ≠ PF/FR
इसलिए, EF, QR के समानांतर नहीं है।
(ii) दिया गया है,
PE = 4 सेमी, QE = 4.5 सेमी, PF = 8 सेमी और RF = 9 सेमी
अतः, आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय का प्रयोग करने पर,
PE/QE = 4/4.5
= 40/45
= 8/9
और,
PF/RF = 8/9
अतः,
PE/QE = PF/RF
इसलिए, EF, QR के समानांतर है।
(iii) दिया गया है,
PQ = 1.28 सेमी, PR = 2.56 सेमी, PE = 0.18 सेमी और PF = 0.36 सेमी
आकृति से,
EQ = PQ – PE
= 1.28 – 0.18
= 1.10 सेमी
और,
FR = PR – PF
= 2.56 – 0.36
= 2.20 सेमी
अतः,
PE/EQ = 0.18/1.10
= 18/110
= 9/55 …………… (i)
और,
PF/FR = 0.36/2.20
= 36/220
= 9/55 …………… (ii)
अतः,
PE/EQ = PF/FR
इसलिए, EF, QR के समानांतर है।
3. आकृति में, यदि LM || CB और LN || CD है, तो सिद्ध कीजिए कि AM/AB = AN/AD
हल:
दी गई आकृति में, LM || CB
आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय का प्रयोग करने पर,
AM/AB = AL/AC ………………… (i)
इसी प्रकार, LN || CD दिया गया है और आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय का प्रयोग करने पर,
∴ AN/AD = AL/AC ………………… (ii)
समीकरण (i) और (ii) से,
AM/AB = AN/AD
अतः, सिद्ध हुआ।
4. आकृति में, DE || AC और DF || AE है। सिद्ध कीजिए कि BF/FE = BE/EC
हल:
ΔABC में, DE || AC दिया गया है। अतः आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय का प्रयोग करने पर,
∴ BD/DA = BE/EC ……………………………… (i)
ΔBAE में, DF || AE दिया गया है। अतः आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय का प्रयोग करने पर,
∴ BD/DA = BF/FE ……………………………… (ii)
समीकरण (i) और (ii) से,
BE/EC = BF/FE
अतः, सिद्ध हुआ।
5. आकृति में, DE || OQ और DF || OR है। सिद्ध कीजिए कि EF || QR।
हल:
दिया गया है, ΔPQO में DE || OQ
अतः आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय का प्रयोग करने पर,
PD/DO = PE/EQ …………………… (i)
पुनः दिया गया है, ΔPOR में DF || OR
अतः आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय का प्रयोग करने पर,
PD/DO = PF/FR …………………… (ii)
समीकरण (i) और (ii) से,
PE/EQ = PF/FR
अतः, आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय के विलोम के अनुसार, ΔPQR में EF || QR।
6. आकृति में, A, B और C क्रमशः OP, OQ और OR पर स्थित बिंदु हैं, जहाँ AB || PQ और AC || PR है। सिद्ध कीजिए कि BC || QR।
हल:
दिया गया है, ΔOPQ में AB || PQ
आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय का प्रयोग करने पर,
OA/AP = OB/BQ ………………… (i)
साथ ही, दिया गया है कि ΔOPR में AC || PR
आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय का प्रयोग करने पर,
∴ OA/AP = OC/CR ………………… (ii)
समीकरण (i) और (ii) से,
OB/BQ = OC/CR
अतः, आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय के विलोम के अनुसार, ΔOQR में BC || QR।
7. आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिंदुओं को जोड़ने वाली और दूसरी भुजा के समानांतर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है। (इसे कक्षा 9 में सिद्ध किया जा चुका है।)
हल:
दिया गया है, ΔABC में D, AB का मध्य-बिंदु है, जहाँ AD = DB।
BC के समानांतर एक रेखा AC को E पर इस प्रकार काटती है कि DE || BC।
हमें सिद्ध करना है कि E, AC का मध्य-बिंदु है।
चूँकि D, AB का मध्य-बिंदु है।
∴ AD = DB
⇒ AD/DB = 1 ………………………… (i)
ΔABC में, DE || BC
आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय का प्रयोग करने पर,
AD/DB = AE/EC
समीकरण (i) से,
⇒ 1 = AE/EC
∴ AE = EC
अतः, सिद्ध हुआ कि E, AC का मध्य-बिंदु है।
8. आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय के विलोम का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज की किसी भी दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा तीसरी भुजा के समानांतर होती है। (इसे कक्षा 9 में किया जा चुका है।)
हल:
दिया गया है, ΔABC में D और E क्रमशः AB और AC के मध्य-बिंदु हैं, जहाँ AD = BD और AE = EC
हमें सिद्ध करना है: DE || BC
चूँकि D, AB का मध्य-बिंदु है,
∴ AD = DB
⇒ AD/BD = 1 ……………………………… (i)
साथ ही, E, AC का मध्य-बिंदु है।
∴ AE = EC
⇒ AE/EC = 1
समीकरण (i) और (ii) से,
AD/BD = AE/EC
आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय के विलोम के अनुसार,
DE || BC
अतः, सिद्ध हुआ।
9. ABCD एक समलंब है जिसमें AB || DC है और इसके विकर्ण एक-दूसरे को O बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं। सिद्ध कीजिए कि AO/BO = CO/DO
हल:
दिया गया है, ABCD एक समलंब है जिसमें AB || DC है तथा विकर्ण AC और BD O बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।
हमें सिद्ध करना है,
AO/BO = CO/DO
बिंदु O से AD को E पर स्पर्श करने वाली एक रेखा खींचिए, इस प्रकार कि EO || DC || AB हो।
ΔADC में, OE || DC
अतः आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय का प्रयोग करने पर,
AE/ED = AO/CO …………………… (i)
अब ΔABD में, OE || AB
अतः आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय का प्रयोग करने पर,
DE/EA = DO/BO …………………… (ii)
समीकरण (i) और (ii) से,
AO/CO = BO/DO
⇒ AO/BO = CO/DO
अतः, सिद्ध हुआ।
10. एक चतुर्भुज ABCD के विकर्ण एक-दूसरे को O बिंदु पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि AO/BO = CO/DO। सिद्ध कीजिए कि ABCD एक समलंब है।
हल:
दिया गया है, चतुर्भुज ABCD में AC और BD O बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं तथा,
AO/BO = CO/DO
हमें सिद्ध करना है कि ABCD एक समलंब है।
बिंदु O से AD को E पर स्पर्श करने वाली एक रेखा खींचिए, इस प्रकार कि EO || DC || AB हो।
ΔDAB में, EO || AB
अतः आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय का प्रयोग करने पर,
DE/EA = DO/OB …………………… (i)
साथ ही, दिया गया है,
AO/BO = CO/DO
⇒ AO/CO = BO/DO
⇒ CO/AO = DO/BO
⇒ DO/OB = CO/AO …………………… (ii)
समीकरण (i) और (ii) से,
DE/EA = CO/AO
अतः, आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय के विलोम के अनुसार,
EO || DC
साथ ही,
EO || AB
⇒ AB || DC
अतः, चतुर्भुज ABCD एक समलंब है, जिसमें AB || CD।
कक्षा 10 गणित की परीक्षा में बेहतर अंक कैसे प्राप्त करें?
कक्षा 10 गणित में अच्छा स्कोर करने के लिए स्पष्ट अवधारणाओं (concepts), नियमित अभ्यास और सटीकता तथा उत्तर प्रस्तुतिकरण पर ध्यान देने की आवश्यकता होती है। बेहतर अंक प्राप्त करने के लिए आपको यह करना चाहिए:
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मजबूत अवधारणाएं (Concepts) बनाएं: कक्षा 10 गणित में चरणों को रटने के बजाय अवधारणाओं को समझने पर ध्यान दें, क्योंकि इससे अनुप्रयोग-आधारित (application-based) प्रश्नों को हल करने में मदद मिलती है।
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कमजोर क्षेत्रों पर काम करें: अंकों के नुकसान से बचने के लिए कक्षा 10 गणित के पाठ्यक्रम से कठिन विषयों को छोड़ने के बजाय उन पर ध्यान केंद्रित करें।
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सूत्रों का प्रतिदिन दोहराव करें: PW कक्षा 10 गणित के MIQs (महत्वपूर्ण प्रश्नों) का नियमित दोहराव परीक्षा में गणना की गलतियों से बचने में मदद करता है।
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नियमित अभ्यास करें: अपने आधार (basics) को मजबूत करने और सटीकता में सुधार करने के लिए CBSE कक्षा 10 NCERT के सभी प्रश्नों को कई बार हल करें।
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पिछले वर्ष के प्रश्न पत्र हल करें: CBSE कक्षा 10 गणित के पिछले वर्ष के प्रश्नों (PYQs) का अभ्यास करने से आपको प्रश्न पैटर्न और महत्वपूर्ण विषयों को समझने में मदद मिलती है।
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